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中华学生百科全书-第287部分
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殆素数之和。离（1＋1）只有一步之遥了，但这又是十分艰难的一步。1966
年至今已整整 30 年了，然而（1＋1）仍是一个未解决的问题。
莱氏数学游戏
俄国诗人莱蒙托夫也是一个数学爱好者，他在服役时，有一次给周围的
军官做一个数学游戏。
他让一个军官先想好一个数，不要告诉别人，然后在这个数上加 25，心
算好了以后，再加上 125，然后再减去 37。把算好的结果减去原来想的那个
1
数，结果再乘5并除以2，最后，莱蒙托夫对那个军官说：答案是2822 。
那个军官感到非常惊奇。立刻又有另一个军官要求试一遍，结果都说明莱蒙
托夫计算得又快又准确。
你能知道是什么道理吗？
解答：如果设预先想好的数为 x，那么莱蒙托夫的计算式是：
1
（x＋25＋125…37…x ）×5÷2 = 2822
你仔细看一下式子就发现，莱蒙托夫已经偷偷地把原数减去了，所以式
子中不存在未知数，莱蒙托夫只需把早就计算好的答案说出来准没错。
至于，莱蒙托夫第二次、第三次的表演仍能够成功，那还需要下点功夫。
也就是说，出题的人一边在出题，一边在计算，只要跳过那个“减去原来想
的那个数”就行了。
牛肉拉面
吃也有艺术，艺术中也数学。就拿吃牛肉拉面来说，有的人喜欢面条粗
一点，有的人喜欢面条细一点。大师傅有办法，喜欢吃粗面条的对拉 8 次就
行了，喜欢吃细面条的再增加 1 次。试问粗面条共多少根？细面条共多少根？
粗面条和细面条的直径差多少？
解答：对拉 8 次后，面条数目为 27，因为第一次是由 1 变成 2，然后才
是每次乘一个 2。这样 27＝128，粗面条共 128 根。细面条要拉 9 次，面条数
为 28＝256 根。
面条数目增加了一倍，面条的截面积也就小了一倍，可是直径的平方才
与截面成正比例，所以粗面条的直径应该是细面条直径的 2倍。
瞎子看瓜
有一个瞎子把 6 筐西瓜摆成一个三角形，自己坐在中间。一共是 24 个西
瓜，每排是 9 个。他每天摸一次，只要每排 3 个筐里的西瓜一共是 9 个，他
就放心了。没想到，他的邻居二嘎子跟他开了一个玩笑，第一天偷出了 6 个，
第二天又偷出了 3 个，一共少了 9 个西瓜，而瞎子却一点没有发现，这是怎
么回事？
解答：因为二嘎子通过改变每筐里的西瓜数，而使每排西瓜总数仍保持
9 个，这样瞎子以为西瓜没有丢，实际上西瓜已经少了。
爱因斯坦的舌头
大科学家爱因斯坦是“相对论”的缔造者，他在科学研究工作之余，又
练就了高超的小提琴技艺。他的表情有时很滑稽，让人捉摸不透。世人流传
一张照片就是他吐着舌头、凝视前方的形象。
有一个班级进行民意测验：
11 位同学认为表示“惊奇”，7 位同学认为这种意见也可以考虑。
6 位同学认为表示“高兴”，8 位同学认为这种意见也可以考虑。
1 位同学认为表示“幽默”，6 位同学认为这种意见也可以考虑。
1 位同学认为“惊奇”、“高兴”、“幽默”三种神态兼备。
还有 3 位同学认为是表示“无可奈何”。
请问这个班级一共有多少同学？
解答：由题意，认为表示某种神态的同学，他们的意见是肯定和专一的；
而认为可以考虑的意见是模棱两可的，他们也可能同意两种意见或三种意
见；表示“无可奈何”意见的，也是一种肯定意见。为此，可以用集合的办
法画成如图那样的圆圈，相重迭部分就是同意两种意见的，其中间 3 个圆相
重迭部分是表示三种神态兼备意见的人数。如果未知的人数分别以 x、y、z、
p 表示，则：
x＋ p＋ z= 7
y＋
x＋ p＋ y= 8
p＋ z= 6
p =1
求解得：
x＝4，y＝3，z＝2，p＝1
总人数为：
S＝11＋6＋1＋3＋x＋y＋z＋p
＝11＋6＋1＋3＋3＋4＋2＋1
＝31
所以，这个班级共有 31 名同学。
稀世珍宝
在东京珠宝收藏博览会上展出一棵 18K 金的圣诞树，在 3 层塔松形的圣
诞树上共镶嵌有 1034 颗宝石。
这棵圣诞树上的宝石是这样摆放的：如果从顶上往下看，3 层圆周上镶
嵌的宝石数成等差级数递增；而 3 层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且
第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有 1 颗宝石
是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？
解答：假设三层圆周上的宝石数分别为 A、B、C，则：
B＝A＋m C＝A＋2m
其中 m 为等差系数。
因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设三层圆
锥面上的宝石数为 A、D、E，那么：
D＝nA E＝n2A
其中：n 为等比系数。
由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：
A＋B＋C＋A＋D＋E＋1＝1034
A＋A＋m＋A＋2m＋A＋nA＋n2A＝1033
解此方程，只有一种可能：
A（ n2 ＋ n＋4） =1000
3m
= 33
根据 m、n、A 均为整数，得：
m =11
n = 2
A =100
因此，宝石的镶嵌是这样的：
塔松顶上有 1 颗宝石；
第一层圆周上 100 颗宝石，圆锥面上 100 颗宝石；
第二层圆周上 111 颗宝石，圆锥面上 200 颗宝石；
第三层圆周上 122 颗宝石，圆锥面上 400 颗宝石。
牛郎和织女
牛郎星离地球 16．5 光年，也就是以光的速度运行到地球要 16．5 光年。
织女星离地球 26．5 光年。如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶
到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才见到织女？而见一面之后，织
女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？
答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进。因此，
牛郎比织女先到地球 10 年，牛郎需要等 10 年才见到织女。
织女匆匆赶回，如果马上又出发的话，来回需 53 年。牛郎要等 53 年才
能与织女第二次相见。如果牛郎也返回自己的星座，那么除了路上的时间不
算在内，牛郎也要坐等 20 年才能与织女第二次相聚。
百羊问题
百羊问题是出自中国古代算书《算法统宗》中的一道题。
这个问题说的是：“牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧。
有一个过路人牵着 1 只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶来的这
群羊大概有 100 只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原
来这群羊的一半，又加上原来这群羊的14 ，连你牵着的这只肥羊也算进去，
才刚好凑满 100 只。”谁能知道牧关人放牧的这群羊一共有几只？
根据题意，我们可设这群羊共有 x 只，则
x＋ x＋ x ＋ x＋1= 100
1 1
2 4
解这个方程得 x＝36，也就是牧羊人放牧的这群羊共有 36 只。
百鸡问题
中国古代算书《张丘建算经》中有一道著名的百鸡问题：公鸡每只值 5
文钱，母鸡每只值 3 文钱，而 3 只小鸡值 1 文钱。现在用 100 文钱买 100 只
鸡，问：这 100 只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？
这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个
求不定方程整数解的问题。解法如下：
设公鸡、母鸡、小鸡分别为 x、y、z 只，由题意得：
x＋y＋z＝100①
5x ＋ 3y＋ z = 100②
1
3
有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。
②×3…①得：7x＋4y＝100，因此
y = 100 7x = 25 x 7
4 4
由于 y 表示母鸡的只数，它一定是自然数，而 4 与 7 互质，因此 x 必须
是 4 的倍数。我们把它写成：x＝4k（k 是自然数），于是 y＝25…7k，代入原方
程组，可得：z＝75＋3k。把它们写在一起有：
x = 4k
y = 25…7k
z = 75＋3k
一般情况下，当 k 取不同数值时，可得到 x、y、z 的许多组值。但针对
本题的具体问题，由于 x、y、z 都是 100 以内的自然数，故 k 只能取 1、2、
3 三个值，这样方程组只有以下三组解：
x = 4 y =18 z = 78
x =8 y =11 z = 81
x =12 y = 4 z = 84
兔子问题
13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中提出这样一个问题：
有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关
在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二
个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖
成多少对？
现在我们寻求兔子繁殖的规律。成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟
的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟
○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便
可画出下图
可以看出六个月兔子的对数是 1，2，3，5，8，13。很容易发现这个数
列的特点：即从第三项起，每一项都等于前两项之和。所以按这个规律写下
去，便可得出一年内兔子繁殖的对数：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，
144，233，377。可见一年内兔子共有 377 对。
人们为了纪念斐波那契，就以他的名字命名了这个数列，该数列的每一
项称为斐波那契数。斐波那契数列有许多有趣的性质。除了 an＝an…1＋an…2外，
1 1＋2 5
n 1 5 n
还可以证明他的通项公式为an = ，公式虽然复杂，
5 2
可它的每一项却都是整数。而且这个数列中相邻两项的比值，越靠后其值越
接近 0．618。这个数列有广泛的应用，如树的年分枝数目就遵循斐波那契数
列的规律；而且计算机科学的发展，为斐波那契数列提供了新的应用场所。
鸡兔同笼
中国古代的《孙子算经》（公元 280～420 年）一书中，收集了不少算术
趣题，“鸡兔同笼”问题是其中之一。原题为：今有鸡（雉）兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问鸡、兔几何？
原书的解法是：设头数为a，足数为b，则b2 a是兔数，a2 a是鸡数，
b
这个方法很巧妙。可能是这样思考的：鸡兔头数和为 a，而足数之和为 b，则
有：
鸡 ＋ 兔 = a ①
2·鸡
＋4·兔 = b ②
1
这其实是一个二元一次方程组，由 ×② …①得：
2
兔 = …a，代入①得：鸡 = a…2 a。由此解得：兔 =12只，鸡 = 23只。
b b
2
我们还可以这样考虑：假设笼里全是兔子，则共有 4×35＝140 条腿，但
实际只有 94 条腿，多了 140…94＝46 条腿，这是由于把鸡假设为兔子，使每鸡
多了两条腿造成的，所以应该为：46÷（4…2）＝23（只），兔为 35…23＝12（只）。
韩信点兵
大凡著名的军事家都是精通数学的。“韩信点兵”的故事就是源出于我
国古代《孙子算经》。让我们来欣赏这位将军的智慧：
一日，韩信到前沿检阅一队士兵。这队士兵人数众多，无法一一点清，
况且兵贵神速，时间是军队的生命，不能迟迟不决。韩信立即令队伍整队，
排成每列 5 人的纵队，最后多余 1 人；接着又命令改成 6 人一列的纵队，最
后多余 5 人；然后又变换队形，变成每列 7 人的纵队，最后多余 4 人；最后，
下令排成每列 11 人的纵队，最后多余 10 人。操练完毕，韩信不仅了解了这
队士兵的军事素质，而且全队士兵的人数也在不知不觉中了如指掌了。
难道他真有神机妙算的本领吗？
这就是著名的“孙子定理”，也是驰名中外的“中国余数定理”。它是
这样分析的：
首先，求 5、6、7、11 的最小公倍数：
M＝5×6×7×11＝2310
求得 M 对于每个因数的商数：
a1 = 2310 = 462
5
2310
a2 = = 385
6
a3 = 2310 = 330
7
2310
a4 = = 210
11
以各自的商数为基础，求得余 1 的情况：
3×462 1386
= = 277Λ Λ 余1
5 5
385
= 64Λ Λ 余1
6
330
= 47Λ Λ 余1
7
210 = 19Λ Λ 余1
11
再以实际上各项的余数代进去，得到
x0＝1×3×462＋5×385＋4×330＋10×210＝6731
由此，6731 是符合题意中的各项余数的，但这并不是小的解，因为 2310
能被各项都整除，所以要减去 2310 的数。
x1＝6731…2×2310＝2111
2111 为最小的解。但由于这是解不定方程，可以有无的解，其通解的形
式应该为
x2＝2111＋2310k（其中 k＝0，1，2，……）
幻方与数阵
将 1～9 这 9 个数字填在图 A 中的九个方格里，使每一横行、每一纵列和
两个对角线上的数字之和相等。首先我们注意到 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。而
①＋②＋③＋
④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＝45，因此，①＋②＋③＝④＋⑤＋⑥＝⑦＋⑧＋⑨＝幻和，那
么应该有：幻和×3＝45，幻和＝45÷3＝15。又，①＋⑤＋⑨＋③＋⑤＋⑦＋④＋⑤＋
⑥＋②＋⑤＋⑧＝15×4＝60，也就是①＋②＋③＋④＋⑤＋⑥＋⑦＋⑧＋⑨＋3×⑤＝60，所
以，45＋3×⑤＝60，⑤＝5，即
中间的数应当为 5，其他位置上的数，如果①填奇数，因为①＋⑨＝10，
所以⑨也是奇数。④、⑦同奇或同偶，当④、⑦同为奇数时，⑧和⑥也应是
奇数。因此共有 6 个奇数，又因 1～9 只有 5 个奇数，发生矛盾。当④、⑦同
偶时，⑧与⑥也应为偶数，③也应为偶数，这样共有 5 个偶数，也与 1～9
只有 4 个偶数矛盾。因此①是偶数，同理③、⑦、⑨也都是偶数。又①＋⑨＝
③＋⑦＝10，于是就得到所求解。如左图。
伐木人的争论
伊格纳托夫是前苏联著名的科普作家，他一生写下了许多题材新颖、内
容丰富、形式活泼的作品，伐木人的争论是其作品中的一道题。
尼基塔和巴维尔是两个伐木人。有一天，两人干完活正准备吃饭，迎面
走来一个猎人：“你们好啊，兄弟们！我在森林里迷了路，离村庄又远，饿
得心慌，请分给我一些吃的吧！”
“行啊，行啊，你坐下吧！尼基塔有 4 张饼，我有 7 张饼咱们在一起凑
合着吃吧。”巴维尔热情地说。尼基塔也随声附和着。于是三人平均分吃了
11 张饼。吃过饭，猎人摸出 11 个戈比，说道：“请别见怪，我身上只有这
些钱了，你俩商量着分吧！”
猎人走后，两个伐木人争论起来。尼基塔说：“我看这钱应该平分！”
巴维尔反驳说：“11 张饼的钱是 11 个戈比，正好是 1 张饼 1 个戈比，你应
得 4 个，我应得 7 个！”
他们俩的算法，谁的对呢？显然尼基塔的算法是错的，两人带的饼的数
目不同，当然分得的钱也应不同。再看巴维尔的算法：11 张饼，11 个戈比，
每张饼 1 个戈比，看起来非常合理，如果问题是“猎人用 11 个戈比买了 11
张饼”，那么巴维尔的算法的确是正确的。可问题是“3 个人平均分吃了 11
张饼，并且尼基塔和巴维尔带的饼又不一样多。”实际上，11 张饼平均分给
3个人，就是说，每人吃了11张饼。尼基塔有4张饼，自己吃了11张饼，
3 3
他给猎人吃了411= 张。而巴维尔也吃了11张，他分给猎人711= 张。
1 10
3 3 3 3 3
猎人吃了 张饼，付给11个戈比，也就是说，每次13张饼猎人付给一个
11
3
戈比。他吃了尼基塔1张饼，故尼基塔应得1戈比，他吃了巴维尔10张饼，
3 3
巴维尔应得 10 戈比，两个人的算法都错了。
36 名军官问题
设有 6 种军衔和来自 6 个团的 36 名军官，能不能把他们排成 6×6 的队
列，使得每行每列里都有每种军衔的 1 名军官和每个团的 1 名军官呢？
这是 18 世纪瑞士数学家欧拉提出的一个趣味数学问题。它在统计学，尤
其是在试验设计中有重要的影响。
为了易于说明，我们先考虑有 3 种军衔和来自 3 个团的 9 名军官。用 1、
2、3 分别表示 3 种军衔，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示 3 个不同的团，这时，相应的问题
的解答是：
1 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3 2 3
2 1 Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
2 3 1 Ⅱ Ⅲ Ⅰ
军衔阵列 团阵列
（1；Ⅰ） （2；Ⅱ） （3；Ⅲ）
（3；Ⅱ
） （1；Ⅲ） （2；Ⅰ）
（2；Ⅲ ） （3；Ⅰ） （1；Ⅱ）
上面军衔阵列和团阵列分别是由 3 个不同符号构成的 3 行 3 列的阵列（3
×3），其中每个符号在每行与每列恰好只出现一次，我们把这种阵列叫 3
阶拉丁方。而并置阵列中 32个有序对都是不同的（即并置后，所有可能的 9
种情况都出现了），称军衔阵列和团阵列是正交拉丁方。
那么，36 名军官问题就成了：是否存在 6 阶正交拉丁方呢？欧拉曾猜想，
阶数为 4k＋2（k 是正整数）的拉丁方，任何两个同阶的拉丁方都不是正交的。
容易证明 2 阶拉丁方不正交。1901 年法国数学家 Tarry 用穷举法证明了不存
在 6 阶正交拉丁方。直到 1959 年才有 3 位统计学家终于证明了，除了 2 阶和
6 阶外，其他情况都有解。欧拉的猜想中，除这两种情况外，其余都猜错了。
龟和鹤
龟和鹤都是长寿的动物。一天鹤爹与鹤子遇见了龟祖和龟孙，彼此谈起
了年龄。原来鹤爹的年龄是鹤子年龄的 2 倍，龟祖的年龄是龟孙年龄的 5 倍。
它们年龄之和如果乘上 3，等于 900 岁。如果再过 10 年，鹤族年龄的 5 倍加
上龟族的年龄也是 900 岁。问现在它们的年龄各是多少？
解答：设鹤子现在的年龄是 x，龟孙现在的年龄是 y。则鹤爹现年为 2x，
龟祖现年 5y，有方程：
3［（2x＋x）＋（5y＋y）］＝900
10 年以后，鹤子、鹤爹的年龄分别为 x＋10 和 2x＋10，龟孙、龟祖的年龄
分别为 y＋10 和 5y＋10，于是又有方程，
5［（x＋10）＋（2x＋10）］＋（y＋10）＋（5y＋10）＝900
联立两个方程，简化为：
5x＋2y
x＋2y =100
= 260
解得：
y x = 40
= 30
因此，鹤子现年 40 岁，鹤爹现年 80 岁，龟孙现年 30 岁，龟祖现年 150
岁。
乘车者的常识
有一个乘车者经常坐从东郊到西郊的公共汽车。一天，他嫌车太挤，就
沿着公共汽车行车路线走。这时，他发现对面来的公共汽车每隔 6 分钟遇见
一次，而背后开来的公共汽车每隔 12 分钟超过他一次。他心算了一下，就知
道，这条路线上的公共汽车是隔多少分钟发车一次了。你也能算出来吗？
解答：假设公共汽车的速度是 y，人的走路速度是 x，又设两次发车间隔
时间里，公共汽车行驶的路程为 S。
那么，在迎面见到公共汽车的情况下，每经过 S 距离的时间是 t1＝6 分钟，
S
并且
x ＋ y = t。
同样，在相同方向的情况下，每经过 S 距离的时间是 t2＝12 分钟，并且
S
y x = t。解联立方程组：
S
①
x ＋ y = t1
S
②
y x = h2
将①化简为：
x y 1
＋ = ③
S S t1
将②化简为：
y x 1
= ④
S S t2
③、④相加：
2y = 1 ＋ 1
S t1 t2
∴Sy = ＋ 1 1
t1 t2
∵t1 = 6；t2 = 12
∴Sy = 8
S
因为 正是每段间隔中所需的时间，即发车的间隔时间，所以每两个车
y
发车时间相隔 8 分钟。
两支蜡烛
停电时分，小曹点起了两支蜡烛。这两支蜡烛一般长，可不一般粗。粗
蜡烛可点 2 小时，细蜡烛可点 1 小时。来电以后，小曹吹灭了两支蜡烛，发
现粗蜡烛是细蜡烛长度的 2 倍。问停电时间有多少分钟？
解答：设停电时间为 x 小时。
粗蜡烛2小时点完，1小时可点1/ 2根，x小时可点去 根，还剩1
x x
2 2
根（即它剩下的长度）。
细蜡烛 1 小时点完，1 小时可点 1 整根，x 小时可点去 x 根（x 不到 1
根），还剩下的长度为 1…x。
x
于是：1… = 2（1…x）
2
解方程，得 x＝2／3 小时＝40 分钟
因此，停电时间为 40 分钟。
说容易也难
电视机厂的一个组装班组。已知工作天数比班组人数多 2，如此组装的
电视机总台数是 1001 台，问平均每人每天组装几台电视机？
解答：因为总台数＝平均台数×人数×天数，所以总台数等于 3 个因子相
乘。由于 1001＝13×11×7，仅仅这一种组合方式，所以根据题意 13 应是工
作天数，11 应是班组人数。剩下 7 就是平均每人每天组装的台数。
这道题如果用解方程的办法来做，实际上是一个三次方程。
要解三次方程，可不是件容易的事。在历史上还发生过一次辩论，就是
因为争夺谁是最先发�
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