中华学生百科全书-第288部分

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要解三次方程，可不是件容易的事。在历史上还发生过一次辩论，就是
因为争夺谁是最先发现三次方程解法的。最后，由于历史的误会，只好木已
成舟地命名它为卡丹公式，它是这样讲的：
如果要解一个一般的三次方程：
ax3＋3bx2＋3cx＋d＝0
只需要把方程转换为另一个三次方程：
y3＋3py＋2q＝0
其中：

x　=　y　　　b
a

p　=　　c　b2
a　a2

2q　=　2　b3　　　　　　　　bc　d
a3　　　3a2　＋　　　　　a
这时，可求得　y　的解：

y　=　q　＋　q2　＋p3　＋3　q　　q2　＋p3
3

b
由y的解，再通过x　=　y…　，转换成x的解。
a

卖花生仁

两个农村姑娘到集市去卖花生仁，她们一共带了　50　斤花生仁。回村的路
上，她们交谈着行情。原来她们一个带的花生仁多，一个带的少，但卖了相
同多的钱。大妞说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得　81　元钱。”二妮
说：“若是我有你那么多花生仁，我能卖得　36　元钱。”问两个姑娘各带了多
少斤花生仁？她们每人　1　斤花生仁各卖多少钱？由于大妞带的少，她们无形
中少赚了多少钱？
解答：假设二妮带的花生仁是大妞的　m　倍，既然两人赚得的钱数相等，
一定是大妞卖的价格贵　m　倍。这样，如果开始两人把花生仁交换过来，大妞
花生仁多　m　倍、价格又高　m　倍，她所卖得的钱就要高　m2倍，由此可得：

m2　=　　81　9
=
36　4

m　=　　　　3
2
现在一共是　50　斤，可知，大妞带了　20　斤，二妮带了　30　斤。
大妞　30　斤能卖得　81　元，她的卖价为　2．7　元／斤；二妮　20　斤可卖得　36
元，她的卖价为　1．8　元／斤。
假如对换以后，大妞卖得　81　元，二妮卖得　36　元，比实际可多赚：
（81＋36）…（2．7×20＋1．8×30）＝9　元
因此，无形中少赚　9　元钱。

你来当裁判

有一块土地南北长　a　米，东西宽　b　米，是一个矩形。这块土地分给甲、
乙两人承包。甲负责东西两边的绿化，乙负责南北两边的绿化。显然甲、乙
有意见，因为　a≠b，他们植树的工作量不一样。
那么，怎么让他们植树的长度一样呢？有人说：“把矩形的周长平均一
下，一人一半。”也有人说：“还不如把地重新分过，还是那么大面积，换
成正方形就行了。”
请你公正裁判一下，到底哪种办法更合理？而且对甲、乙两人都有好处？
解答：这里先给大家介绍一下两种平均值的概念：算术平均值和几何平
均值。假如有a、b两数，它们的算术平均值是a　　＋　b　，它们的几何平均值是　ab，
2
而且可以证明算术平均值总是大于或等于它的几何平均值。证明如下：

a＋　b　　　　　　　　　　1
ab　=　（a　＋　b　　2　ab）
2　　　　　　　　　　　2

=　（　a　　b）2
1
2
因为任何数的平方大于等于零
a＋　b　　　ab　=　（　a　　b）2　≥0
1
∴
2　　　　　　　　　　2
a　＋　b
≥　ab
2
对于本题来讲，第一种办法就是用算术平均值，周长为　2（a＋b），一人一半
为　a＋b，也就是在矩形四周找两个分界点，使大家都占　a＋b　的长度。
第二种办法是几何平均值，在保证土地面积不变的条件下，改变矩形的
边长，成为正方形，这时正方形边长为　ab。
由上述证明可知：a　＋b≥　ab，所以第二种平均办法对甲、乙都有利。

一家人的年龄

小康的一家　3　口人，女儿、妈妈和爸爸的年龄分别能被　3、4、5　整除；
而明年，他们的年龄又分别能被　4、5、6　整除，13　年以后，女儿上了高中，
全家的年龄之和也闯过了　100　大关。问今年小康一家人的年龄各是多少？
解答：设女儿年龄为　x，妈妈年龄为　y，爸爸年龄为　z。
x＝3a，y＝4b，z＝5c（a、b、c　为大于　0　的正整数）
并且明年又分别被　4、5、6　所整除，故：
3a＋1＝4a＇，4b＋1＝5b＇，5c＋1＝6c＇（a＇、b＇、c＇为大于　0　的正整数）
可以得到一组相应的关系：
3a＋1＝4a　＇　4b＋1＝5b　＇　5c＋1＝6c　＇

a＝1　　　　　a　＇＝1　　　　　b＝1　　　　　　　b　＇＝1　　　　　　　c＝1　　　　　　　　c　＇＝1

a＝5　　　　　a　＇＝4　　　　　b＝6　　　　　　　b　＇＝5　　　　　　　c＝7　　　　　　　　c　＇＝6

a＝9　　　　　a　＇＝7　　　　b＝11　　　　　　　b　＇＝9　　　　　　　c＝13　　　　　　c　＇＝11

a＝13　　　　a　＇＝10　　　b＝16　　　　　　　b　＇＝13　　　　　　c＝19　　　　　　c　＇＝16


这时，女儿、妈妈、爸爸的年龄可以由
x＝3a，y＝4b，z＝5c　来决定。有以下组合：
x　　　　　　　　　　　　　y　　　　　　　　　　　　z

3　　　　　　　　　　　　　4　　　　　　　　　　　　5

15　　　　　　　　　　　　　24　　　　　　　　　　　35

27　　　　　　　　　　　　　44　　　　　　　　　　　65

39　　　　　　　　　　　　　64

51


由于女儿年龄尚小，13　年以后正读高中，故取　x＝3，而　13　年后三人年龄
闯过　100　大关，目前其年龄之和大约在　100…3×13＝61　左右，故应取　y＝24，
z＝35。
最后正确答案是：女儿　3　岁，妈妈　24　岁，爸爸　35　岁。

丢番都的年龄

丢番都是一个数学家，他生活在公元　3　世纪的古希腊。在他的墓碑上有
着一个谜语方程，它的谜底就是数学家的寿命。墓碑是这样写的：
“在这里长眠的是丢番都，他生命的　1／6　是童年，再过了生命的　1／12，
他成为青年，并结了婚，这样度过了一生的　1／7，再过　5　年，他有一个儿子，
但儿子只活了他寿命的一半，以后，他在数学中寻求安慰，度过了　4　年，终
于也结束了他的一生。”
请你算一算，丢番都活了多少岁？
解答：设他活了　x　岁
列方程：
1x　1　　　　　　1　　　　　　　　　　1
＋　　　　＋　x　＋　5＋　　　　　　＋　4　=　x
6　　　　12x　7　　　　　　　　　　　2
14x＋7x＋12x　＋42x　　　　＋　9　=　x
84
75＋756　=84x
9x　=　756
x　=　84
丢番都活了　84　岁。

庞贝古城

庞贝是意大利的古城，它位于维苏威火山东南麓。它全盛时期到火山爆
发把它湮没，正好是横跨公元前后相同的年数。原来人们都不知道有这么一
个古城，在挖掘的那年，才发现庞贝已被火山爆发湮没了　1669　年，而挖掘的
工作一直延续了212年，到挖掘结束后，证实庞贝城最繁华的时期已相距2039
年。请问：庞贝城全盛时是哪年？火山爆发把它湮没又是哪年？挖掘工作又
是从哪年到哪年？
解答：设庞贝城全盛时为公元前　x　年，由于它横跨公元前后，火山爆发
把它湮没在公元后　x　年。
设挖掘工作从公元　y　年到　z　年，则
y…x　　　　　=1669　　　　　　　　　　　　　　　　①
z＋　　　　x　=　2039　　　　　　　　　　　　　　　②
z…y　　　　　=　212　　　　　　　　　　　　　　　　③

由①＋②，得
y＋z＝3708　　　　　　　　④
由③、④联立，得　z＝1960
由此，y＝1748
x＝79
所以，庞贝城全盛时为公元前　79　年，火山爆发把它湮没在公元后　79　年，
挖掘工作从公元　1748　年一直延续到　1960　年。

转让摩托车

甲花了　8000　元买了一辆摩托车，两年后，他转让给乙，要乙交付　9000
元。乙很不满意：“都用了两年了，还长了　1000　元，真不应该。”甲道出了
苦衷：“其实，我还亏了本了呢！你想，我要交税牌的钱，两年来还要修车，
花了不少钱呢！告诉你吧！我亏的本正好是　1／6　的卖价加上　1／3　的交税和修
车费。”你想想，甲亏卖了多少钱？
解答：设交税和修车一共用　x　元
9000　x
＋　　　　=　（8000　＋　x）　　9000
6　3
x
1500＋　=　x1000
3
2
3x　　=　2500

x　=　3750


实际上，甲交税和修车花了　3750　元，亏卖的钱数为：
（8000＋3750）…9000＝2750
甲亏卖了　2750　元。

蛋铺的生意

有一家小蛋铺，主要出售鸡蛋、鸭蛋和鹅蛋。鸡蛋　1　元　5　角一打，鸭蛋
1　元　8　角一打，鹅蛋　2　元　6　角一打（注：一打蛋是　12　个）。有一位顾客，身
边只带了　1　元　1　角，他能买几种蛋、几个蛋？
解答：假设可买鸡蛋　x　个，鸭蛋　y　个，鹅蛋　z　个。
有方程：1。50　x＋　　　　　　1。80y　2。60z
＋　　　　　　=　1。10　　　　　①
12　　　　　　　　12　12
化简得：15x＋18y＋26z＝132　　　　　　　　　　　　　　　　②
∵132＝3×44＝4×33
∴②的解有两种形式：
（1）x＝0　　y＝z＝3
（2）z＝0　　x＝y＝4
由此，1　元　1　角可以买　3　个鸭蛋和　3　个鹅蛋，或者买　4　个鸡蛋和　4　个鸭
蛋。

四通八达

这里要传授给你一个秘决，只要你领会了，今后你遇到这一类问题，你
会感到四通八达、迎刃而解了。
假如你遇到这样一个问题：求　3　个整数　a、b、c，使其满足　a3＋b3＝c4，
这时，你该怎么办？
最好的办法是，等式两边同除以　c3，于是
c　a　　　3　　＋　　　=　c
b　　　　3

c
a　　　　　　　　　b
令A　=　，B　=　，则
c　c
c＝A3＋B3
你可以任意设　A　和　B　两个整数，从而求得　c，进而知　a、b，问题解决了。
举例：设　A＝2，B＝3，得
c＝A3＋B3＝23＋33＝35
∵a＝cA＝70，b＝cB＝105
∴703＋1053＝354
这类问题可以推广到：
（1）a3＋b3＋c3＝R4
a3＋b3＋c3＋d3＝R4，等等。
（2）a2＋b2＝c3　a4＋b4＝c5　a5＋b5＝c6，等等
为了使你熟练这种办法，请你举一个例子能满足　a2＋b2＋c2＝d3。
解答：将等式变为d　＋　a　＋　d　=　d
a　　　　2　　　　　b　　　2　　　　c　　　　　2




a　b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　c
令A　=　，B　=　，C　=
d　d　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d
且　A＝1，B＝2，C＝3
d＝A2＋B2＋C2＝12＋22＋32＝14
由此，a＝14，b＝28，c＝42，
∴142＋282＋422＝143

各自为政

在现代工业中要求产品标准化，因为过去各自为政的局面会带来许多麻
烦。可以举一个实例：有甲、乙、丙、丁、戊　5　个工厂生产的电线规格都不
一样，即每一盘电线的长度都不相／同。现在要从变电站　A　往居民小区　B　拉两
根供电干线。若用甲厂的产品　2　盘不够，还得搭上　1　盘乙厂的；若用乙厂的
3　盘也不够，还得搭上　1　盘丙厂的；若用丙厂的　4　盘也不够，还得搭上　1　盘
丁厂的；若用丁厂的　5　盘还不够，还得搭上　1　盘戊厂的；若用戊厂的　6　盘也
是不够，还得搭上　1　盘甲厂的。你看，不按统一的标准，有多噜嗦。请你只
好耐心一点计算一下各家工厂每盘电线的长度，以及　A、B　两地的距离是多
少？（已知每盘电线都是以整数来盘绕的，A、B　两地干线的总长度也正好是
个整数米，求最小的一组解。）
解答：设甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线每盘长　x、y、z、u、v　米，
A、B　两地所用干线的总长度为　w　米。
根据题意，列出方程组：
2x＋y＝w　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
3y＋z＝w　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
4z＋u＝w　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③
5u＋v＝w　　　　　④
6v＋x＝w　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
这是一个不定方程组，即　5　个方程，要求　6　个未知数。
由　3×①…②，得：6x…z＝2w　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑥
由　4×⑥＋③，得：24x＋u＝9w　　　　　　　　　　　　　　　　　⑦
由　5×⑦…④，得：120x…v＝44w　　　　　　　　　　　　　　　　　⑧
由　6×⑧＋⑤，得：721x＝265w
w　可以有许多解，但最小的一组解为：x＝265，w＝721。代入①、②、③、
④，可求得：
y＝191，z＝148，u＝129，v＝76
因此，甲、乙、丙、丁、戊各厂生产的电线规格，每盘电线分别是　265
米、191　米、148　米、129　米、76　米，A、B　两地所用的干线总长度为　721　米，
A、B　两地距离为　360．5　米。

马克思与数学

马克思是精通数学的，他在《数学手稿》中，曾提出解不定方程的例子：
有　30　个人，其中有男人、女人和小孩。他们在一家小饭馆里就餐共花费
了　50　先令；知道每个男人花　3　先令，每个女人花　2　先令，每个小孩只花　1
先令。问男人、女人和小孩各有多少？
你知道马克思是怎么算的吗？
解答：
设男人、女人、孩子分别有　x、y、z　人，列出方程：
x＋y＋z＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
3x＋2y＋z＝50　　　　　　　　　　　　　　　　　　②
由②式减①式，得
2x＋y＝20　　　　　③
③式代入②，得
z…x＝10　　　　　　　④
∵x≥0，由④式知：
z≥10　　　　　　　　　⑤
由③式
y＝20…2x
x≤10
列表：
x　　　　　1　　　　　2　　　　3　　　　　　　4　　　　　　5　　　　　　　　　6　　7　　　　　8　　　　　9　　　　　　10

y　　　　18　　　　　16　　　14　　　　　12　　　　　　10　　　　　　　　8　　6　　　　　4　　　　　2　　　　　　0

z　　　　11　　　　　12　　　13　　　　　14　　　　　　15　　　　　　16　　　17　　　18　　　　　19　　　　　20


因此这　10　组解都满足本题的要求。显然是一个典型的不定方程。

趣味几何

意大利著名科学家伽利略曾经说过：“大自然用数学语言讲话，这个语
言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体。”几何学研究的对象正是
圆、三角形及其他各种数学形体。
一个由　36　个小方格组成的正方形，如图所示，放着　4　个黑子和　4　个白子。
现在要把它分割成形状大小都相同的　4　块，并使每一块里都有一个黑子和一
个白子，应怎样分割？
分析：要将图形分成大小相同的四块，可先将图形一分为四，如图（A）










但这样左上角一块中就出现了两个白子，为此必须将它们割开。但问题
要求　4　块形状大小都要一样，因此只要一块割开，其他　3　块都要做同样的割
开，如图（B）。然后再将原来的分割线去掉一部分。如果去掉近中心的　1／3，
则黑子就会连成一片；如果去掉中间的　1／3，又会有两个白子连在一起。
因此只可去掉靠边上的　1／3，如图（C）。




现在只需要把左边两个白子分开。显然，只要将　4　条短的分割线延长到
边，就能达到目的，如图（D）。到此，图中的　6　条分割线都不能再延长，只
能沿折线分割，成为符合要求的图（E）。

节能灶

便民小吃店准备改进炉灶，知道煤厂生产有两种蜂窝煤。大蜂窝煤的直
径是小蜂窝煤直径的　2　倍，3　个大蜂窝煤垒起的高度与　4　个小蜂窝煤垒起的
高度相等。
假如砌的炉灶采用　3　块大蜂窝煤，那么相当于多少块小蜂窝煤的热值？
如果按同样热值的那么多小蜂窝煤砌成炉灶，哪个灶更节省？
解答：假设大蜂窝煤半径为　R，高度为　b，小蜂窝煤半径为　r，高度为　a，
则：
R＝2r，3b＝4a
大蜂窝煤的体积为πR2·b，小蜂窝煤的体积为πr2·a

∴πR2　　b　=　π（2r）2　　a　3
4

=　　16　　πr2　a
3
即　3πR2·b＝16πr2·a
由此可知，3　个大蜂窝煤的体积等于　16　个小蜂窝煤的体积，3∶16　也是
它们重量的关系。




由于热值与其质量成正比，相同质量的蜂窝煤应该产生相同的热值，所
以要砌放　3　块大蜂窝煤的炉灶，也可以砌成能放　16　块小蜂窝煤的炉灶，如同
图上所示的两种炉膛内的蜂窝煤全部燃烧（令中间小孔不计），其燃烧面积
应该是上端面的面积加上侧面的面积之和，于是，对于　16　块小蜂窝煤，燃烧
表面积之和为：
SA＝4×4×（πr2＋2πra）
＝16πr2＋32πra
3　块大蜂窝煤，其燃烧表面积为：
SB＝3×（πR2＋2πR·b）


＝3πR2＋6πRb
3
∵R　=　2r；b　=　a
4
∴SB　=　3π（2r）2　＋　6π（2r）43a
=　12πr2　＋16πra

∴SA＞SB
由此，小蜂窝煤燃烧面积大，烧得快，不节省煤，而大蜂窝煤燃烧面积
适中，烧得慢，省煤。

影子部队

数学大军中有一支劲旅，称做“影子部队”。它就是“三角函数”，因
为它离不开角度，它总是跟随着角度，像它的影子一样。
这天，影子部队随着角度观光了三角形博览会。角度是这里的常客，它
也很自负，它说：“任何△ABC，三个内角和为　180°。”说完没有人理它，
它又说：“△ABC　若是直角三角形，那么　Rt∠C＝∠A＋∠B。”这时影子部队答
了话：“凡是有你的地方，就有我存在。至于△ABC　若满足下列条件：

sinC　=　　sinA　＋　sinB
cosA　＋　cosB
则△ABC　一定是直角三角形。不信，你可以试试。”
证明：先设△ABC　为任意三角形，有　A＋B＋C＝180°
A　＋　B　　　　　　　　　B
2sin　　　　　　cos　A
∴右式　=　　　　　　　　2　　　　　　　　　　2
2cosA　　＋　B　cos　A　　　　B
2　　　　　　　　　　2
sin180°　　C　　　　　cosC
=　　　　　　　　　2　　　　　=　　　　　2
cos180°　　　C　　　　　　　C
sin
2　　　　　　　　　　2
左式　=　2sinC　cosC
2　2

∴2sinC　cosC　=　　　　　　cosC
2
2　　　　　　2　　　　　　　　　C
sin
2
∵cosC　≠0
2
C
∴2sin2　=　1
2
C　　　　　　2
sin　=
2　　　　　2

∵　=　45°
C　　　　　　　　　　　　　　　　即　C　=　90°
2
所以△ABC　为直角三角形。

巷中行

有一个小巷，本来就不宽，充其量只有　5　米，却遇上修理房屋。巷内架
起了两个梯子，一个梯子长　8　米，另一个梯子长　7　米。架起来后，行人走到
那里就皱起了眉头。请你计算一下，这样架着梯子，人在巷中行走，有妨碍
没有？
解答：设巷宽　DB＝5　米，两个梯子　AB＝8　米，CD＝7　米
令　EF＝x，FB＝x
EF　　　　DF
∵　　BC　DB；
=

BC　=　CD2　　DB2　；

DF　=　DB　y
x　　　　　　5　y
∵　　　　　　　　　　=　　　　　　∴
72　　52　　　　　　5

同理：
EF　　　　　FB
=
AD　DB
AD　=　AB2　　DB2
x　　　　　　　　　　　　　　y
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　=
82　　52　　　　　　　　　　　　　5

由①、②式，求得：
5　y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y
72　　52　=　　　　　　　　　　　　　　　　82　　52
5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5
10　6　　2　6y　=　39y

10　6
y　=　　　　　　　　　　　　　　=　　　　24。5=2（米　　　　　）
2　6　＋　39　12。2
又
x　　　　　　　　　　　　　　y
=
82　52　　　　　　　　　　　　5

39
x　=　　　　　　　　　　　　y
5

x=　　6。25×　　　2=2。5（米）
5
由此可见，两梯子交叉点离地面约有　2．5　米高，因此并不影响行人通过。

截去多少

有三角形、平行四边形和　1／4　的圆形（或称　90°的扇形），它们高度相
等。现在在高度一半处，与底边平行地截过去，截下一个小的三角形、平行
四边形和半个弓形，问截下部分是整体面积的几分之一？




解答：三角形截下部分是整体的　1／4，因为小三角形的边和高都是原来
的　1／2，其面积是原来的（1／2）2。
平行四边形截下的部分为整体的一半，即　1／2。
半弓形的面计算如下：

扇形ABC的面积　=　πR2
1
6


1　R　　　　　　　　　　3　　　　　　　3
三角形DBC的面积　=　×　×　　　　　　　　　　R　=　　　　R2
2　2　　　　　　　　　2　　　　　　8
半弓形　ADC　的面积＝扇形　ABC　的面积…三角形　BDC　的面积：
πR2　　　　　　3　　R2
6　　　　8

扇形ABE的面积　=　πR2
1
4
πR2　　　　　3
半弓形的面积　　　　　　　　　　　　　　　　R2
=　　　　　6　　　　　8　　　　　　2　　　　　　　3
3　2π　　　=0。382
90°扇形的面积　　　　　　　　πR2
4

园丁的难题

公园里有一个圆形的花圃，在它外面有一个水泵。为了浇花的需要，又
兼顾花圃外用水的方便，园丁想拉一条直的水管，使它在圆内部分的长度等
于圆外部分的长度。可是，这根水管应该怎样拉呢？
假设　AC　是符合愿望的水管，那么
CB＝BA
连接　OB、OC，并将　CO　延长与圆周交　D，连接　AD。
∵CB＝BA，OC＝OD＝r
∴OB∥DA
△COB∽△CDA
OB　　　　=　　CO　　　=　r
DA　CD　2r
DA＝2OB＝2r


因此，只需以　A　点为圆心，2r　为半径画弧交花圃圆周于　D。连接DO　并交
圆周于　C，连接　AC　即为设水管的位置。
值得注意的是：一般情况可以有两个解，分设在左右两侧。但也有唯一
解的情况，那是　A　点与圆心连线以后，该连线的长度正好等于　3r。当　A　点与
圆心连线大于　3r　时，本题无解。

正方形的维纳斯

据说，著名的维纳斯雕像之所以美，是因为她的上半身和下半身的长度
是按黄金比分配的。为此，我们取一个正方形　ABCD，现在作一个半圆，使它
的直径正好在正方形一边　CD　的延长线上，圆周正好通过正方形另两个顶点　A
和　B，此时直径为　MN。那么　C　点把　DN　黄金分割，D　点把　MC　黄金分割。
因为　MN　为半圆的直径，所以
BC2＝MC·CN　　　　　①
∵ABCD　为正方形


∴BC＝DC
DC2＝MC·CN　　　　　②
由于图形的对称性，所以
MD＝CN
MC＝DC＋MD＝DC＋CN　　　　　　　　　　　　　　　　　③
由②式和③式，得
DC2＝（DC＋CN）·CN
∴CN　=　　　　DC
DC　DN
因此　C　为　DN　的黄金分割点，同样可以证明　D　为　MC　的黄金分割点。

丰收时节

在喜庆丰收的时候，用编好的苇席围起来做成粮囤。甲、乙、丙三人用
同样长的苇席，甲围成一个正三角形，乙围成一个等腰直角三角形，丙围成
一个圆形。那么，他们谁围的面积大？如果苇席同样高的话，谁围的粮囤存
放的粮食多？
假设苇席的长度为　1　米，正三角形边长为　a，等腰直角三边为　b，圆半径
为　r。