走进修仙-第434部分

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　　这些用人族语写下的最直观的东西，他还看得懂。而越往后，这里面的知识点就越深入，他甚至连算符的作用都无法揣测。
　　或许是已经预料到了这种窘境，王崎特意在旁边写下批注，说明每一个知识点的用处，命重点标明“老师的话”这几个大字。
　　“这……这……”奥流举得很惊悚了。他自己想出的问题，不过位于王崎标注知识点的第一列第五行。当年他光是为了学习如何证明“海洋几何内部，三角形的内角和始终小于周天半数”就殚精竭虑。但是，这只不过是王崎列出算学知识当中非常靠前的部分。他本想再问一个更新妖族尚未解决的问题，但是那个问题……
　　居然没有进入第二列的资格。
　　王崎干脆就坐在讲桌上，毫无形象的挠着头。这形象在诸多妖族看来，活像是猴子捉虱子。他打了个呵欠：“喂喂，有点想法了吗？想问什么问题？现在上课呢。如果没有的话，就给我坐下。”
　　奥流脸微微涨红。他看了一眼笑得抽抽的月落琉璃，还有一脸怪诞的白弦素铮，咬牙道：“你们亦是圣族看重的种属，从圣族那里学到这一门技巧，不稀奇。”
　　“‘技巧’？”王崎眉毛一挑。对于万法门弟子来说，这话称得上冒犯了：“技巧啊……看起来昔年龙族对你们的期望不是很高嘛……”
　　“雕虫小技……”
　　听到奥流·神岚皎的话，白弦素铮想说什么，却被月落琉璃一把拉住。白弦素铮有些奇怪：“殿下……不说的话，好么……”
　　她其实很想说，在这个领域，人族已经靠着后天的智慧，来到了龙族依靠先天的曲面空间认知与经验积累相同的地方。王崎列出的这些算式，大多数对她而言非常直观，一看就懂。但是，后面的也让她觉得有些困难——约等于高考数学最后一道大题之类的？
　　人族在这方面与龙族相差无几，甚至还隐约超过几分。
　　月落琉璃传音入密：“看戏挺有意思的嘛。”
　　奥流也发现了月落琉璃的举动，他懊恼道：“这位圣族的殿下与你相熟，你懂得这些东西再正常不过了。我们再说点别的。”
　　王崎点点头：“行啊！”
　　“与圣族海洋几何相对的，还有一种几何学。圣族虽然通晓，却未曾教授过我们，我想也应该不会……”
　　王崎抓起身边长剑，往前一挥。众人只看见一片剑光。之后，寒冰制成的墙壁被抹平又刻上新的文字，冰屑簌簌而下。王崎轻轻一吹，室内就好像下起小雪一样：“行了行了，看看吧，你问的是不是这个？内容有没有在上面？”
　　所谓“圣族的海洋几何”，不过是双曲线几何——在地球被称为罗巴切夫斯基几何。在海洋之中，“声音”是比“光线”更好的信息传递介质。许多海生生物都靠“歌咏”来定位。而声音在水中的传递速度与水的密度息息相关。位置越深，音速越快。因此在一些海生生物的感知当中，世界“看起来”是一个圆心在海面的凹陷球体。而这种感知再无限延伸，就成了双曲线几何。
　　用地球的话来讲。按照他们听到的声音，他们生活在一个庞加莱圆盘上。
　　最古老的龙族，就是靠声呐感知世界的。他们这一族先天的空间感就是罗氏几何。而等他们有了文明，修成手段之后，学会使用眼睛，自然很容易就能发现欧式几何。知道欧式几何之后，发现黎氏几何也就不是什么太难的事情了。
　　许多海栖的种属，就是这样发展几何的。他们在“用火”上落后了，但是在这方面算是得到了补偿。
　　对于先天就只依靠眼睛的种族来说，这个过程反而要艰难许多倍。
　　奥流刚刚问了双曲线几何——罗氏几何，那现在问的，就一定是黎氏几何了。
　　神岚皎的继承者眼神恍惚，觉得自己的世界观受到了挑战。他道：“这一门几何当中，还有时空的无穷秘密……”
　　王崎都懒得嘲笑她的脸。他反手在所有知识点后面添了一些东西，那是包括闽科夫斯基空间在内的、黎曼几何在相对论当中的运用。对于黎氏几何，王崎的认知还要更加深刻一些，因为这个在物理上的运用更多。
　　“我说，神岚皎家的学生啊，要不要我再写一个具体的法门上去？”
　　奥流脸色一变：“会刷图图画画的，写符的作用有有限……你不是说算学是研究计算之学问吗？我们再来比一比计算！”
　　他抬手写下一个公式，然后道：“解开这个！”
　　奥流心中庆幸。幸好他的一位后天之师也是算学的大家，有秘传的解法，曾经破过三十三位妖族算家列出的天元式……
　　这个解法都是他后天之师那一系秘传的，鲜有人知。
　　就在他分神之时，王崎已经用剑气在他脚下刻录了结论。奥流甚至还没回过神来。他骇道：“这么快！这不可能……”
　　王崎只不过是瞟了一眼就将他的算式解答了出来，甚至比他先定好数值然后推演算式的时间还要短！
　　“你惊讶个屁啊，不过是三重天元【三次方程】而已。”王崎道：“有本事你出个更高层次的呀？”
　　奥流脸涨的通红。他沉思了小半个时辰，王崎也不急，就这么满满的等着。之后，他写下了另一个方程式——四次方程。
　　王崎依旧是扫了一眼，随手解答。
　　“如果你出一个五重天元【五次方程】，我倒是还要高看你一眼。”王崎道：“还有什么道道，尽管使出来看看。”
　　一开始，他还是真的希望对方能够问出一些他不知道的东西。因为那就说明，人族对非欧几何这个领域或许还有没有认识到的部分——这个部分有可能就是因为“先天的空间感”的差异而形成的思维盲区。
　　但是，现在看来……呵呵吧。
　　奥流如同抓住了一根救命稻草，道：“你口中的五重天元是不存在精确解的。”
　　“呵呵”王崎翻了个白眼，道：“诸位，希望你们跟我学习的时候，可以摆脱你们脑海当中的旧有观念。按照我原本的计划，我大约会在明年教你们怎么解五重天元的……原计划呢。”
　　有那么一瞬间，奥流很想让王崎真的解一个五次方程看一看。但是，他没有说出口。
　　他至少还留有一点理智，知道王崎不至于在这件事上开玩笑。而且在说出来之后，他最大的可能还是自取其辱——他很有可能根本看不懂那个解法。
　　王崎盯着奥流，最后有些遗憾。
　　四次方程到五次方程其实是一个巨大的门槛。一次方程二次方程乃至大部分三次方程都可以用一种非常直观非常简单的方式解出来。这里面最大的突破，大约也就是“虚数”这个概念的引入了。
　　负数的平方根，这在大多数古老算家眼中，简直无法想象。
　　而四次方程之后，方程的难度就开始激增了。四次方程还属于能够用简单方法去解的，但是五次就完全不行了。
　　就算你用事先准备好的数字去编造五次方程，那些数字也只能作为五次方程的数个解之一。
　　五次方程的诸多解相互嵌套表达，而这种表达，又往往含有许多种“对称操作”。
　　是的，对称。到了这一步，解方程就需要用到“群论”了。他基本可以肯定，更新妖族的算学水平是理解不了的。
　　更新妖族的文明毕竟不是建立在数学之上的。他们自有一套思辨的体系。
　　王崎跳下课桌，道：“你问了我这么多问题，我现在反问你一个问题，不过分吧？”
　　奥流一愣，咬牙道：“若是你用无解之题来压我……”
　　“放心放心，对付你还用不到无解之题。我可以保证，它非常简单。人族当中，研究算学的基本都知道。”
　　奥流虽然知道王崎不怀好意，但还是点了点头。
　　王崎问道：“什么是长度？什么是面积？什么是体积？”


第二十四章　测度论
　　“长度是什么？面积是什么？体积是什么？”
　　这个意料之外的问题让奥流楞了一会儿。他没有想到王崎会问这种问题。思考片刻之后，他张口道：“长度是……”
　　话到嘴边又说不出口了。
　　何谓长？
　　这个问题，恐怕每一个人都知道。就算是刚刚开灵的新生妖族或者小孩子，都能有咿咿呀呀的比划大小、长短等诸多概念。
　　但是，越是简单的概念，反而越难以叙述。因为在绝大部分人心中，“长度”这个概念已经够基础的了。要他们用更加基础的概念去表述这样一个概念……
　　真的很难呀。
　　看到他的样子，王崎微微有些好笑，但仍是一本正经的说道：“既然你无法回答这个问题，那就简单点好了。就问你，长度是什么？”
　　奥流已经说不出什么“别小瞧妖”之类的话了。
　　他很认真的思考问题，最后小心翼翼的说出了结论：“两点之间的距离……”
　　“呵呵。”王崎付之一笑。
　　奥流有些被激怒。他站起来，道：“这种不言自明的道理，又有谁会不明白？既然人人都明白，那又为何要研究它？要我说，你等人族已经走入执念障了，只盯着自己那一亩三分地，却看不到广阔天空。”
　　“不言自明？”王崎的语气当中充满调侃的意味。他手脚并用翻下讲桌，在空中扯了个筋斗，落在奥流的课桌前，直直的盯着奥流。他笑容有些阴森：“小子，我得告诉你，没有什么是不言自明的。所谓的‘不言自明’，只不过是你的脑子、你的魂魄、你的智慧给你的一种错觉，一种幻象。”
　　“这种幻觉的名字，就叫‘我生而知之’，或者‘我很聪明’‘我心近道’。”
　　王崎又站了起来：“或许后天获得的灵智，让你们有了一种‘有灵智方才出生’的感觉吧。这种感情，我们还真不能体会。对于我们人族来说，‘灵慧’真的是稀松平常。所以，我们才会觉得灵慧其实也没有那么伟大——至少我们人族这种层次的智慧没有那么伟大。我们所知晓的一切，其实都是智慧给自己设下的枷锁。”
　　“只有认清执念，才能破除执念。只有知晓天空的渺小，才能够计算星海的浩瀚。”
　　奥流皱眉：“坐而论道吗？说得好听罢了。”
　　他心中其实是有一些窃喜的。这种观念之争、理念之争可以说上很久，最终有可能变成谁都没办法说服谁的局面。若是进入这样的局面，他倒是有机会抹除刚才的尴尬一幕。
　　可惜，王崎是不会给他这种机会的。
　　世界终究是客观的。真就是真，伪就是伪。
　　王崎身子向后一翻，像是要倒在地上。下一秒，他就在讲台上站好。他道：“方才你提到了‘四个条件’支撑起的一套几何，想必也是知晓‘第五个条件’吧？”
　　奥流点点头：“不绝对。”
　　“能够将画天法称之为‘条件’，你们更新妖族也是有一些智慧的。可惜啊……”王崎摇摇头，也不知是可惜更新妖族没有更深入，还是在可惜某个后辈学艺不精。他道：“既然你们知晓这被我们人族称之为画天法的公设，那也应该知晓点线面的定义咯？”
　　奥流点点头。这种不言自明的问题，他们确实是知晓的。
　　“线是无数点的总和，对吧？”
　　奥流再次点点头。
　　王崎继续问道：“那么你们有没有想过，点是没有长度的。或者说，点的长度是零。线是由无数点构成的，那么，线又是从哪里来的长度呢？”
　　“唔……”这个问题，让所有的学生都愣了一下。
　　包括月落琉璃和白弦素铮这两个龙族在内，所有人都是一愣。
　　——这个……还真没有人想过！
　　王崎看着底下那群学生的表情，终于是满意的点了点头。
　　——小样儿，我还治不了你们了？
　　——我告诉你们，我这里看起来简单，但是难得要死的问题是要多少有多少。
　　王崎刚才问出的问题，其实就是“测度论”当中的重要部分。而它的解答，在地球被称作“勒贝格积分”。在这个世界，它作为离宗的经典，由歌庭派完成。
　　尽管这只是算主辉煌人生的一个小小注脚，但是大多数人都知晓，若是有万法门弟子吃透了这个，那么升到炼虚期都不会有什么障碍。
　　没有接触过主流数学的天才人物需要多久才能彻底想明白这个问题呢？
　　格罗滕迪克高中时期花了三年。
　　“想要解释这个问题，就得先从集合论谈起了。”王崎说着，开始讲解集合里面最初的内容。集合、淄即、元素、并集、交集、补集等等。
　　这些内容全部都是面向普通高中生的。大约三五节课，地球上的普通高中生就能够掌握这方面的内容。而王崎现在的这些学生起码都是化形期的高阶妖族，记忆力更加强大，他只花了一个小时，就保证让他们掌握了那些集合的基本概念。
　　当然，也真的只是基本概念而已。
　　“接下来，我们可以引入一些更加复杂的概念，比如说‘无穷大’。‘无穷大’这个概念也很复杂。我知道，在算学之外，这个概念也被一些人讨论。或许你们当中有一些人就思考过这样的问题——什么叫无穷大。而现在，丢掉你们脑子当中那些玄之又玄的定义。在算学里，无穷只有已知的两种。可数无穷和不可数无穷。所有整数的集合便被称为‘可数无穷’。不可数无穷比可数无穷更大，不存在比可数无穷更小的无穷……”
　　“所有实数的集合就是一个不可数无穷。而所有与‘所有实数的集合’等势的集合，就被称作‘连续统’。”讲话到这里，王崎笑了一下：“顺便一提，这个系统里面有相当一部分东西就是我证明的。换言之，这是我悟出来的东西。这一点必须强调一下。”
　　奥流脸色铁青。
　　“我本人和‘连续统假设’的故事，有空再讲给你们听。总而言之，你们知道这么个概念就行了。若要问‘可数无穷’和‘不可数无穷’之间的区别，那就简单说一下吧——这或许就是无大小的点到线与面之间的奥妙。”
　　“现在回到主题。我们通常所说的长度面积体积这些词，究竟是什么意思？”王崎双手撑在讲桌上：“为了更清楚的阐明这个主题，让我们把目光只集中在最简单的一维情形，也就是说，我们只考虑‘长度’这个词。我们希望，取出直线上的一部分，就有一个‘长度’存在。如果能做到这一点，那么类似的，面积和体积之类的字眼也可以类似的得以理解。”
　　“首先，我们可以做出这样的定义。一个直线，就是一个巨大的点集。”
　　“这个点集的每一个子集，包括它自身，都存在‘势’。这个势就是一个测度。”
　　“两个彼此本身不相交的子集的并集——也就是这个大点集的另一个子集，也有测度并且这个测度应该等于两者之和。简单来说，两个不相交不重叠的线段的总长度，就可以视作是它们各自长度的总和。”
　　“更进一步，三个不相交子集的测度之和也应该等于这三个子集并起来的集合的测度，四个也好，五个也好，依此类推，无穷个不相交子集的测度之和也应该等于把它们并起来得到的集合的测度。”
　　说到这里，王崎郑重的说道：“接下来，我们就可以做出最终的定义了。”
　　“一，空集对应的测度是零。二，若干个彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。三，如果把直线看作实数轴，那么从数轴上子点到丑点的线段对应的测度应当等于丑减去子。”
　　接着，王崎闭上眼睛，表情肃穆。
　　“就是人们通常所说的‘长度’的严密定义，而且是唯一正确的定义。”
　　当然，这句话略有些夸张。王崎刚才讲述的勒贝格测度【在这个世界，它被唤作‘歌庭测度’】，只是测度当中的一种。事实上，这个世界也会存在其他测度体系。数学上也承认不同于这种测度的其他测度。
　　比如，地球物理学当中会涉及的另一种测度，狄拉克测度【本世界也唤作“无量测度”】
　　这就让很多数学家相信，实际上还有更加具有普遍性的测度，只是人类还没有理解到那一步。
　　但是，就现阶段来说，“长度”这个词得到了严格的定义，人类对算学的认知也到了更深的层次。
　　有那么一瞬间，奥流真的被震慑到了。他惊叹于这种严密的智慧。但是他依旧问道：“这有什么用呢？这不过是在玩文字游戏。这种游戏，我可以玩上一天……”
　　“是啊，有什么用呢。”身形一闪，王崎再一次出现在奥流的面前：“这个定义，恰好能让你意识到自身的渺小啊。”


第二十五章　教师
　　奥流站了起来：“自身如何渺小，我是没体会到的。我只体会到了你们人族的自大。”
　　“你绕来绕去的说了一大堆，也只是有意让人听不懂的话。这也就罢了。长度唯一正确的定义？”他站了起来，愤怒的呵斥：“这只是你们人族对这个词的理解而已，给我少用这种自以为掌握绝对真理的口气说话。”
　　“是么？”王崎挖挖耳朵：“难道长度还可能有别的理解不成？”
　　奥流愤愤不平：“所谓的‘长度’，本就是一个朦胧的概念。大家都能明白，也用不着你们这些大而无当的理论来解释……”
　　“哦，能够把说不明白的东西说明白，不是很厉害吗？”王崎这次干脆就不看奥流的脸了。
　　“那也只是你自己的说辞。”奥流强行不让自己发作：“每一个人都能对它产生自己的理解。”
　　“自己的理解啊。”王崎抬起眼皮：“你也有啊？”
　　奥流点点头：“在我看来，长度这个词是……”
　　“啊，我没问你你是怎么看的。你就回答我有或者没有就行了。”王崎道：“看来是有了……”
　　“那是自然。”奥流哼了一声。他素来以“灵机”而着名，颇有一些急智。刚才王崎讲解勒贝格测度的时候，他就已经明白这个“文字游戏”的游戏规则了——至少他自己是这么觉得的。
　　王崎翻了个白眼：“那么在你刚才听完我的讲话之后新鲜出炉的长度定义里，‘空无’有没有长度？如果有，那是不是零？”
　　奥流似乎没有觉得这个无关紧要的细节有多重要，点点头：“是又怎样？”
　　“各个不重叠线段的总长度，是不是它们各自长度的总和？”
　　奥流冷笑：“废话。”
　　“那么……”王崎再次用剑气在地上画出一道线：“按照你的定义，这线段上三尺处到五尺处的长度，是不是就是五减三尺，也就是二尺？”
　　“不然呢？”奥流已经不耐烦了：“不然还叫什么‘长度’？”
　　“这不就结了。反正你对长度的定义，也就是歌庭测度的一个变体而已，把我说的话变换几个文字再说一遍又有什么意思？”
　　奥流再一次懵了：“什么？”
　　“怎么这都听不懂。”王崎扶额：“你们是我带过的最差的学生……”
　　“我丝毫不关心你关于长度的观念是怎么建立起来的，我只想说，如果你的观念没有内在的逻辑矛盾，那它就一定和我刚才教的歌庭测度是一回事。这就是我为什么说歌庭测度是唯一正确的长度的定义——你当然可以有你自己的定义，只不过它一定正好就等价于歌庭测度。清楚？明白？”王崎道：“如果这都不懂的话，那我建议你先不要上我的课了，找个蒙学童师好好补一补吧。我这里不适合你。”
　　奥流喝道：“这根本就是……”他脑子最后一次转过弯来，叫道：“这根本就是强行说自己正确啊！你什么也没有定义，你只是自己号称证明了一个所谓歌庭测度的存在，可没有解释‘为什么’。为什么三尺处到五尺处的长度就是五减三尺？你却把它直接写在了定义里，这并不能说明什么。”
　　“唉。”王崎也不耐烦了。“从三尺处到五尺处的的线段的‘长度’当然也可以不等于两尺，只要你不取歌庭测度而换一种测度就成了——问题是这与你的主观经验相违背。不是为什么它的长度等于二尺，而是你首先要求了二尺这一属性，然后把它叫做‘长度’。这不是‘鸡生蛋’的问题，因果关系非常明确。”
　　“你……”
　　“你什么你？知道上课的规矩吗？”王崎拍了拍课桌：“一点礼貌都不懂。”
　　“这有什么意义？”奥流道：“这到底有什么意义？”
　　“还没想明白啊。”王崎再一次叹息：“你们啊，真的是我带过的最差的学生。”
　　“说到底，‘长度’这个概念——准确来说是符合我们这种血肉种生灵主观经验的‘长度’，它是自有自在的。它客观存在，不受你个人主观的左右。你说破天去，长度的定义也不会因你而改变。你当然可以用法术洗脑，同时改变这方天地所有生灵的经验，扭曲他们的认知，用另外一种测度去代替歌庭测度。但是，这毫无意义。如果这种测度和他们坐卧住行当中经历的客观事件存在矛盾，那么它必然会崩溃。”
　　王崎谈到：“说到底，只要你承认了‘三尺处到五尺处的长度就是五减三尺’这个概念，那剩下一切需要问为什么的