死在火星上-第24部分

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namical　model，　seems　to　be　quite　stable　even　over　this　very　long　time…span。　A　closer　look　at　the　lowest…frequency　oscillations　using　a　low…pass　filter　shows　us　the　potentially　diffusive　character　of　terrestrial　plaary　motion，　especially　that　of　Mercury。　The　behaviour　of　the　eccentricity　of　Mercury　in　our　integrations　is　qualitatively　similar　to　the　results　from　Jacques　Laskar's　secular　perturbation　theory　（e。g。　emax～　0。35　over　～±　4　Gyr）。　However，　there　are　no　apparent　secular　increases　of　eccentricity　or　inclination　in　any　orbital　elements　of　the　plas，　which　may　be　revealed　by　still　longer…term　numerical　integrations。　We　have　also　performed　a　uple　of　trial　integrations　including　motions　of　the　outer　five　plas　over　the　duration　of　±　5　×　1010　yr。　The　result　indicates　that　the　three　major　resonances　in　the　Neptune–Pluto　system　have　been　maintained　over　the　1011…yr　time…span。
　　1　Introduction
　　1。1Definition　of　the　problem
　　The　question　of　the　stability　of　our　Solar　system　has　been　debated　over　several　hundred　years，　since　the　era　of　Newton。　The　problem　has　attracted　many　famous　mathematicians　over　the　years　and　has　played　a　central　role　in　the　development　of　non…linear　dynamics　and　chaos　theory。　However，　we　do　not　yet　have　a　definite　answer　to　the　question　of　whether　our　Solar　system　is　stable　or　not。　This　is　partly　a　result　of　the　fact　that　the　definition　of　the　term　‘stability’　is　vague　when　it　is　used　in　relation　to　the　problem　of　plaary　motion　in　the　Solar　system。　Actually　it　is　not　easy　to　give　a　clear，　rigorous　and　physically　meaningful　definition　of　the　stability　of　our　Solar　system。
　　Among　many　definitions　of　stability，　here　we　adopt　the　Hill　definition　（Gladman　1993）：　actually　this　is　not　a　definition　of　stability，　but　of　instability。　We　define　a　system　as　being　unstable　when　a　close　enunter　occurs　somewhere　in　the　system，　starting　from　a　certain　initial　nfiguration　（Chambers，　Wetherill　&；amp；　Boss　1996；　Ito　&；amp；　Tanikawa　1999）。　A　system　is　defined　as　experiencing　a　close　enunter　when　two　bodies　approach　one　another　within　an　area　of　the　larger　Hill　radius。　Otherwise　the　system　is　defined　as　being　stable。　Henceforward　we　state　that　our　plaary　system　is　dynamically　stable　if　no　close　enunter　happens　during　the　age　of　our　Solar　system，　about　±5　Gyr。　Incidentally，　this　definition　may　be　replaced　by　one　in　which　an　occurrence　of　any　orbital　crossing　between　either　of　a　pair　of　plas　takes　place。　This　is　because　we　know　from　experience　that　an　orbital　crossing　is　very　likely　to　lead　to　a　close　enunter　in　plaary　and　protoplaary　systems　（Yoshinaga，　Kokubo　&；amp；　Makino　1999）。　Of　urse　this　statement　cannot　be　simply　applied　to　systems　with　stable　orbital　resonances　such　as　the　Neptune–Pluto　system。
　　1。2Previous　studies　and　aims　of　this　research
　　In　addition　to　the　vagueness　of　the　ncept　of　stability，　the　plas　in　our　Solar　system　show　a　character　typical　of　dynamical　chaos　（Sussman　&；amp；　Wisdom　1988，　1992）。　The　cause　of　this　chaotic　behaviour　is　now　partly　understood　as　being　a　result　of　resonance　overlapping　（Murray　&；amp；　Holman　1999；　Lecar，　Franklin　&；amp；　Holman　2001）。　However，　it　would　require　integrating　over　an　ensemble　of　plaary　systems　including　all　nine　plas　for　a　period　vering　several　10　Gyr　to　thoroughly　understand　the　long…term　evolution　of　plaary　orbits，　since　chaotic　dynamical　systems　are　characterized　by　their　strong　dependence　on　initial　nditions。
　　From　that　point　of　view，　many　of　the　previous　long…term　numerical　integrations　included　only　the　outer　five　plas　（Sussman　&；amp；　Wisdom　1988；　Kinoshita　&；amp；　Nakai　1996）。　This　is　because　the　orbital　periods　of　the　outer　plas　are　so　much　longer　than　those　of　the　inner　four　plas　that　it　is　much　easier　to　follow　the　system　for　a　given　integration　period。　At　present，　the　longest　numerical　integrations　published　in　journals　are　those　of　Duncan　&；amp；　Lissauer　（1998）。　Although　their　main　target　was　the　effect　of　post…main…sequence　solar　mass　loss　on　the　stability　of　plaary　orbits，　they　performed　many　integrations　vering　up　to　～1011　yr　of　the　orbital　motions　of　the　four　jovian　plas。　The　initial　orbital　elements　and　masses　of　plas　are　the　same　as　those　of　our　Solar　system　in　Duncan　&；amp；　Lissauer's　paper，　but　they　decrease　the　mass　of　the　Sun　gradually　in　their　numerical　experiments。　This　is　because　they　nsider　the　effect　of　post…main…sequence　solar　mass　loss　in　the　paper。　nsequently，　they　found　that　the　crossing　time…scale　of　plaary　orbits，　which　can　be　a　typical　indicator　of　the　instability　time…scale，　is　quite　sensitive　to　the　rate　of　mass　decrease　of　the　Sun。　When　the　mass　of　the　Sun　is　close　to　its　present　value，　the　jovian　plas　remain　stable　over　1010　yr，　or　perhaps　longer。　Duncan　&；amp；　Lissauer　also　performed　four　similar　experiments　on　the　orbital　motion　of　seven　plas　（Venus　to　Neptune），　which　ver　a　span　of　～109　yr。　Their　experiments　on　the　seven　plas　are　not　yet　prehensive，　but　it　seems　that　the　terrestrial　plas　also　remain　stable　during　the　integration　period，　maintaining　almost　regular　oscillations。
　　On　the　other　hand，　in　his　accurate　semi…analytical　secular　perturbation　theory　（Laskar　1988），　Laskar　finds　that　large　and　irregular　variations　can　appear　in　the　eccentricities　and　inclinations　of　the　terrestrial　plas，　especially　of　Mercury　and　Mars　on　a　time…scale　of　several　109　yr　（Laskar　1996）。　The　results　of　Laskar's　secular　perturbation　theory　should　be　nfirmed　and　investigated　by　fully　numerical　integrations。
　　In　this　paper　we　present　preliminary　results　of　six　long…term　numerical　integrations　on　all　nine　plaary　orbits，　vering　a　span　of　several　109　yr，　and　of　two　other　integrations　vering　a　span　of　±　5　×　1010　yr。　The　total　elapsed　time　for　all　integrations　is　more　than　5　yr，　using　several　dedicated　PCs　and　workstations。　One　of　the　fundamental　nclusions　of　our　long…term　integrations　is　that　Solar　system　plaary　motion　seems　to　be　stable　in　terms　of　the　Hill　stability　mentioned　above，　at　least　over　a　time…span　of　±　4　Gyr。　Actually，　in　our　numerical　integrations　the　system　was　far　more　stable　than　what　is　defined　by　the　Hill　stability　criterion：　not　only　did　no　close　enunter　happen　during　the　integration　period，　but　also　all　the　plaary　orbital　elements　have　been　nfined　in　a　narrow　region　both　in　time　and　frequency　domain，　though　plaary　motions　are　stochastic。　Since　the　purpose　of　this　paper　is　to　exhibit　and　overview　the　results　of　our　long…term　numerical　integrations，　we　show　typical　example　figures　as　evidence　of　the　very　long…term　stability　of　Solar　system　plaary　motion。　For　readers　who　have　more　specific　and　deeper　interests　in　our　numerical　results，　we　have　prepared　a　webpage　（access　），　where　we　show　raw　orbital　elements，　their　low…pass　filtered　results，　variation　of　Delaunay　elements　and　angular　momentum　deficit，　and　results　of　our　simple　time–frequency　analysis　on　all　of　our　integrations。
　　In　Section　2　we　briefly　explain　our　dynamical　model，　numerical　method　and　initial　nditions　used　in　our　integrations。　Section　3　is　devoted　to　a　description　of　the　quick　results　of　the　numerical　integrations。　Very　long…term　stability　of　Solar　system　plaary　motion　is　apparent　both　in　plaary　positions　and　orbital　elements。　A　rough　estimation　of　numerical　errors　is　also　given。　Section　4　goes　on　to　a　discussion　of　the　longest…term　variation　of　plaary　orbits　using　a　low…pass　filter　and　includes　a　discussion　of　angular　momentum　deficit。　In　Section　5，　we　present　a　set　of　numerical　integrations　for　the　outer　five　plas　that　spans　±　5　×　1010　yr。　In　Section　6　we　also　discuss　the　long…term　stability　of　the　plaary　motion　and　its　possible　cause。
　　2　Description　of　the　numerical　integrations
　　（本部分涉及比较复杂的积分计算，作者君就不贴上来了，贴上来了起点也不一定能成功显示。）
　　2。3　Numerical　method
　　We　utilize　a　send…order　Wisdom–Holman　symplectic　map　as　our　main　integration　method　（Wisdom　&；amp；　Holman　1991；　Kinoshita，　Yoshida　&；amp；　Nakai　1991）　with　a　special　start…up　procedure　to　reduce　the　truncation　error　of　angle　variables，‘warm　start’（Saha　&；amp；　Tremaine　1992，　1994）。
　　The　stepsize　for　the　numerical　integrations　is　8　d　throughout　all　integrations　of　the　nine　plas　（N±1，2，3），　which　is　about　1/11　of　the　orbital　period　of　the　innermost　pla　（Mercury）。　As　for　the　determination　of　stepsize，　we　partly　follow　the　previous　numerical　integration　of　all　nine　plas　in　Sussman　&；amp；　Wisdom　（1988，　7。2　d）　and　Saha　&；amp；　Tremaine　（1994，　225/32　d）。　We　rounded　the　decimal　part　of　the　their　stepsizes　to　8　to　make　the　stepsize　a　multiple　of　2　in　order　to　reduce　the　accumulation　of　round…off　error　in　the　putation　processes。　In　relation　to　this，　Wisdom　&；amp；　Holman　（1991）　performed　numerical　integrations　of　the　outer　five　plaary　orbits　using　the　symplectic　map　with　a　stepsize　of　400　d，　1/10。83　of　the　orbital　period　of　Jupiter。　Their　result　seems　to　be　accurate　enough，　which　partly　justifies　our　method　of　determining　the　stepsize。　However，　since　the　eccentricity　of　Jupiter　（～0。05）　is　much　smaller　than　that　of　Mercury　（～0。2），　we　need　some　care　when　we　pare　these　integrations　simply　in　terms　of　stepsizes。
　　In　the　integration　of　the　outer　five　plas　（F±），　we　fixed　the　stepsize　at　400　d。
　　We　adopt　Gauss'　f　and　g　functions　in　the　symplectic　map　together　with　the　third…order　Halley　method　（Danby　1992）　as　a　solver　for　Kepler　equations。　The　number　of　maximum　iterations　we　set　in　Halley's　method　is　15，　but　they　never　reached　the　maximum　in　any　of　our　integrations。
　　The　interval　of　the　data　output　is　200　000　d　（～547　yr）　for　the　calculations　of　all　nine　plas　（N±1，2，3），　and　about　8000　000　d　（～21　903　yr）　for　the　integration　of　the　outer　five　plas　（F±）。
　　Although　no　output　filtering　was　done　when　the　numerical　integrations　were　in　process，　we　applied　a　low…pass　filter　to　the　raw　orbital　data　after　we　had　pleted　all　the　calculations。　See　Section　4。1　for　more　detail。
　　2。4　Error　estimation
　　2。4。1　Relative　errors　in　total　energy　and　angular　momentum
　　Acrding　to　one　of　the　basic　properties　of　symplectic　integrators，　which　nserve　the　physically　nservative　quantities　well　（total　orbital　energy　and　angular　momentum），　our　long…term　numerical　integrations　seem　to　have　been　performed　with　very　small　errors。　The　averaged　relative　errors　of　total　energy　（～10？9）　and　of　total　angular　momentum　（～10？11）　have　remained　nearly　nstant　throughout　the　integration　period　（Fig。　1）。　The　special　startup　procedure，　warm　start，　would　have　reduced　the　averaged　relative　error　in　total　energy　by　about　one　order　of　magnitude　or　more。
　　Relative　numerical　error　of　the　total　angular　momentum　δA/A0　and　the　total　energy　δE/E0　in　our　numerical　integrationsN±　1，2，3，　where　δE　and　δA　are　the　absolute　change　of　the　total　energy　and　total　angular　momentum，　respectively，　andE0andA0are　their　initial　values。　The　horizontal　unit　is　Gyr。
　　Note　that　different　operating　systems，　different　mathematical　libraries，　and　different　hardware　architectures　result　in　different　numerical　errors，　through　the　variations　in　round…off　error　handling　and　numerical　algorithms。　In　the　upper　panel　of　Fig。　1，　we　can　regnize　this　situation　in　the　secular　numerical　error　in　the　total　angular　momentum，　which　should　be　rigorously　preserved　up　to　machine…ε　precision。
　　2。4。2　Error　in　plaary　longitudes
　　Since　the　symplectic　maps　preserve　total　energy　and　total　angular　momentum　of　N…body　dynamical　systems　inherently　well，　the　degree　of　their　preservation　may　not　be　a　good　measure　of　the　accuracy　of　numerical　integrations，　especially　as　a　measure　of　the　positional　error　of　plas，　i。e。　the　error　in　plaary　longitudes。　To　estimate　the　numerical　error　in　the　plaary　longitudes，　we　performed　the　following　procedures。　We　pared　the　result　of　our　main　long…term　integrations　with　some　test　integrations，　which　span　much　shorter　periods　but　with　much　higher　accuracy　than　the　main　integrations。　For　this　purpose，　we　performed　a　much　more　accurate　integration　with　a　stepsize　of　0。125　d　（1/64　of　the　main　integrations）　spanning　3　×　105　yr，　starting　with　the　same　initial　nditions　as　in　the　N？1　integration。　We　nsider　that　this　test　integration　provides　us　with　a　‘pseudo…true’　solution　of　plaary　orbital　evolution。　Next，　we　pare　the　test　integration　with　the　main　integration，　N？1。　For　the　period　of　3　×　105　yr，　we　see　a　difference　in　mean　anomalies　of　the　Earth　between　the　two　integrations　of　～0。52°（in　the　case　of　the　N？1　integration）。　This　difference　can　be　extrapolated　to　the　value　～8700°，　about　25　rotations　of　Earth　after　5　Gyr，　since　the　error　of　longitudes　increases　linearly　with　time　in　the　symplectic　map。　Similarly，　the　longitude　error　of　Pluto　can　be　estimated　as　～12°。　This　value　for　Pluto　is　much　better　than　the　result　in　Kinoshita　&；amp；　Nakai　（1996）　where　the　difference　is　estimated　as　～60°。
　　3　Numerical　results　–　I。　Glance　at　the　raw　data
　　In　this　section　we　briefly　review　the　long…term　stability　of　plaary　orbital　motion　through　some　snapshots　of　raw　numerical　data。　The　orbital　motion　of　plas　indicates　long…term　stability　in　all　of　our　numerical　integrations：　no　orbital　crossings　nor　close　enunters　between　any　pair　of　plas　took　place。
　　3。1　General　description　of　the　stability　of　plaary　orbits
　　First，　we　briefly　look　at　the　general　character　of　the　long…term　stability　of　plaary　orbits。　Our　interest　here　focuses　particularly　on　the　inner　four　terrestrial　plas　for　which　the　orbital　time…scales　are　much　shorter　than　those　of　the　outer　five　plas。　As　we　can　see　clearly　from　the　planar　orbital　nfigurations　shown　in　Figs　2　and　3，　orbital　positions　of　the　terrestrial　plas　differ　little　between　the　initial　and　final　part　of　each　numerical　integration，　which　spans　several　Gyr。　The　solid　lines　denoting　the　present　orbits　of　the　plas　lie　almost　within　the　swarm　of　dots　even　in　the　final　part　of　integrations　（b）　and　（d）。　This　indicates　that　throughout　the　entire　integration　period　the　almost　regular　variations　of　plaary　orbital　motion　remain　nearly　the　same　as　they　are　at　present。
　　Vertical　view　of　the　four　inner　plaary　orbits　（from　the　z　…axis　direction）　at　the　initial　and　final　parts　of　the　integrationsN±1。　The　axes　units　are　au。　The　xy　…plane　is　set　to　the　invariant　plane　of　Solar　system　total　angular　momentum。（a）　The　initial　part　ofN＋1　（　t　=　0　to　0。0547　×　10　9　yr）。（b）　The　final　part　ofN＋1　（　t　=　4。9339　×　10　8　to　4。9886　×　10　9　yr）。（c）　The　initial　part　of　N？1　（t=　0　to　？0。0547　×　109　yr）。（d）　The　final　part　ofN？1　（　t　=？3。9180　×　10　9　to　？3。9727　×　10　9　yr）。　In　each　panel，　a　total　of　23　684　points　are　plotted　with　an　interval　of　about　2190　yr　over　5。47　×　107　yr　。　Solid　lines　in　each　panel　denote　the　present　orbits　of　the　four　terrestrial　plas　（taken　from　DE245）。
　　The　variation　of　eccentricities　and　orbital　inclinations　for　the　inner　four　plas　in　the　initial　and　final　part　of　the　integration　N＋1　is　shown　in　Fig。　4。　As　expected，　the　character　of　the　variation　of　plaary　orbital　elements　does　not　differ　significantly　between　the　initial　and　final　part　of　each　integration，　at　least　for　Venus，　Earth　and　Mars。　The　elements　of　Mercury，　especially　its　eccentricity，　seem　to　change　to　a　significant　extent。　This　is　partly　because　the　o