拜见校长大人-第22部分

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　　　　这位学生接过试卷，很快就脸色铁青。

　　　　因为上面全是数学题。

　　　　从基础的运算，到复杂的解函数方程，这试卷上有十道题，大致相当于地球上高中生的水平。

　　　　丹娜看了莱纳一眼，眼神中似乎颇为怨念。

　　　　尽管如此，她依旧拿起了桌上的羽毛笔，开始做题目。

　　　　“所以现在我们就等着她做完？”

　　　　克莱尔小声问道，莱纳耸肩，然后递给克莱尔一张纸。

　　　　“不然你也做做看？”

　　　　那上面是与丹娜一模一样的题目。

　　　　“哼，我可不会上当。”

　　　　同样的招数可不会两次起作用，克莱尔自然不怕莱纳的激将法。

　　　　不过好奇心还是促使她看向试卷上的题目，在看到第一题的时候，克莱尔的脸就黑了。

　　　　在三角形abc中，已知ab=2，ac=3，角a=60度，求bc的长与sin2c的值。

　　　　“。。。。。。”

　　　　“没关系的，做不出来也不丢人。”

　　　　莱纳笑道，这种题目说实话对于丹娜这样的学生来说已经挺难了，但有关平面上几何关系的计算却也是法师们构筑法术模型所必须的。

　　　　“哼，别小看我！”

　　　　克莱尔瞥了一眼莱纳，随即也拿起羽毛笔开始打草稿，不过很明显，她做题的速度比丹娜要快上不少。

　　　　半小时很快过去，两人都交出了自己的试卷。

　　　　克莱尔虽然有不少错误，也有写不出来的题目，但总体还是达标的。

　　　　至于丹娜，则没有一题是能够得到正确答案的，这让她有些沮丧。

　　　　“我果然不适合当一个法师。”

　　　　丹娜喃喃自语道。

　　　　“不，丹娜同学，你只是缺乏一些基本的训练，以及更合适的方法。”

　　　　莱纳的话令这位原本垂头丧气的学生缓缓抬起了脑袋。

第七十幕。莱纳的数学教室（上）（）　
莱纳依稀记得自己高中时代的数学老师说过，学数学就是笨鸟先飞，思维不灵活的人需要做大量的训练来培养自己计算和解题的能力，数学学不好，就是题目做得少，现在想想，这个道理倒是挺正确的。

　　　　当然，那位数学老师后来又补充了一句，聪明鸟飞的更高更快，这又是另一个故事了。

　　　　丹娜之所以无法顺利构筑法术模型，一大原因便是无法正确计算法术节点的坐标与魔力通道的函数方程，产生了偏差，这才导致失败。

　　　　这个世界的法师也不容易。

　　　　莱纳心想，他自己尝试过施法之后，发现光是计算零环法术的节点位置与魔力通道轨迹就让人头大，这相当于心算二次曲线方程，不过在魔力的作用下，这个过程十分奇妙，莱纳几乎没费多少力气就构筑成功，这个计算的过程仿佛本能，如果熟练，他甚至不需要投入太多意识在这上面。

　　　　尚未体验过更强大法师的施法过程，莱纳臆测一下，说不定那些法师都能够短时间内心算高阶方程与微分方程了，可以算是人形计算机。

　　　　抛开这些不谈，面对眼前的问题，莱纳认为只有一方面提高丹娜本人的数学水平，另一方面给予她更好用的数学工具才行。

　　　　拿起那一份试卷，莱纳将其与克莱尔的对比，很容易就看出，丹娜的数学差体现在很多个方面。

　　　　首先是思维方式不灵活，体现在几何题不擅长引辅助线，曲线题无法转变条件。

　　　　其次则是计算力，有一些相对基础，但计算量复杂的题目，虽然丹娜能够找到解决问题的方法，但却在计算中出现了纰漏导致错误。

　　　　最后，莱纳觉察到丹娜似乎还隐藏着一丝不自信。

　　　　由于试卷上也留下了草稿的笔记，很清楚地看到，在一些题目上，丹娜原本的思路是正确的，但由于计算得到的结果十分繁琐，所以她便认为自己算错了，从而错失答案。

　　　　这种心态的成因有很多种，可能是由于过去一直出错导致的自卑，也有可能是性格使然，需要更多的背景资料。

　　　　但令莱纳感到奇怪的是，丹娜既然出生于魔法世家，却没有受到耳濡目染，对相关的魔法十分生疏，这不正常。

　　　　莱纳一边给丹娜讲解正确的解题方式，一边思考着这些事情，他本就是一位老师，此时也忍不住想要将面前这位“差生”教好。

　　　　“你需要大量的训练，如果基础没有其他人好，就要付出成倍的努力，从今天起，我会每天布置一份相似的试卷给你，你在晚饭之后到我的办公室来，我给你解答。”

　　　　莱纳说道，令丹娜不禁打了个冷战。

　　　　这一份试卷已经让她感受到了被数学支配的恐怖，现在莱纳竟然要她每天都写一份，这个人难道是恶魔吗？

　　　　但这并非是莱纳的恶行，实际上，出试卷比起单纯解答试卷要困难得多，莱纳这也是为了锻炼自己的数理能力，为着通过进阶考试做准备。

　　　　同时，他也可以在丹娜身上测试这个教育方法是否有成效，如果效果良好，他或许就会将其推广到整个新月学院。

　　　　毕竟成功进阶法师的比例也是每年考核的一部分。

　　　　所幸低阶法师需要的数学功底没有多深，甚至就连微积分都用不上，莱纳目前的知识绰绰有余。

　　　　“可以少几题吗。。。。。。”

　　　　丹娜怯生生地问道，但莱纳断然拒绝了这个请求，令这位女生一阵哀叹。

　　　　“另外，除去基本功的训练，构筑法术模型的方法也很重要。”

　　　　莱纳回到讲台上，令丹娜与克莱尔的目光再度聚焦在黑板，那个光照术的法术模型上。

　　　　一开始莱纳说的改良法术模型的话语又再度浮现在她们的心头，两位女士怀揣着好奇的心态看着莱纳，不知道他究竟要从哪里开始改良。

　　　　可没想到莱纳却没有在法术模型上继续动笔，而是在旁边，用白色的粉笔点下一个点。

　　　　“我们新建立一个坐标系。”

　　　　莱纳划出一条笔直的水平线，将原点定为o，横轴定为r，当然这并非英文字符，而是通用语的两个字母。

　　　　但接下来，克莱尔意料之中的纵轴却没有出现，仿佛莱纳的坐标轴就到此为止了。

　　　　“咦？”

　　　　就在两人疑惑之时，莱纳从原点延伸出了一条线段，然后标注了一下这条线与横轴的夹角，定为θ，将线段的另一端的点定为a。

　　　　“过去，直角坐标系可以用两个数值来确定平面上的一点，比如这个点，如果在直角坐标系上，就应该是a（x，y），假设x和y都是1，那么a应该就是（1，1）。”

　　　　莱纳说着，然后话锋一转。

　　　　“但如果我不用x和y，转而使用a点与原点的连线同横坐标轴的夹角θ与单位长度r来表示这个点，会得到什么结果呢。”

　　　　给了两人一些思考的时间，莱纳才在黑板上继续写上。

　　　　a（r*cosθ，r*sinθ）。

　　　　这个有些特别的表述方式令丹娜有些晕，不过三角函数算是构筑魔法的基础，在魔法中，角度的计算也要更加方便，所以她很快也就理解了。

　　　　“这个是我引入的新的坐标表述方法，可以称其为极坐标。”

　　　　说完，莱纳在旁边建立了一个正常的直角坐标系，画了一条过原点的开口向上的抛物线。

　　　　“倘若我们想描述这个曲线的函数方程，应该是什么，丹娜？”

　　　　他提问道，令丹娜猝不及防。

　　　　不过好在这比较简单，丹娜很快就给出了答案。

　　　　“呃，y=x^2？”

　　　　“准确来说，应该是y=2p*x^2，在这个函数方程中，由于涉及到平方的操作，所以比一般的直线方程要更加复杂，如果曲线的位置有所变化，比如不在原点的话，那么就会更加麻烦。”

　　　　莱纳说着，又继续在黑板上书写。

　　　　“接下来我们可以建立两个等式：y=r*sinθ，x=r*cosθ，将其代入原本的方程，消去简化之后就能得到一个方程，r=tanθ/cosθ。”

　　　　克莱尔点了点头，但这个函数方程看起来似乎更加复杂了，她不明白莱纳为何要用这种麻烦的方式来记录曲线的轨迹。

　　　　“当然，这是非常复杂的方式，但如果我们稍微改变一下定义，r是抛物线上的点与焦点的距离，θ确定为抛物线上的点与焦点连线同纵轴正方向的夹角呢？”

　　　　莱纳的提问让克莱尔与丹娜愣住了。

第七十一幕。莱纳的数学教室（下）（）　
已故的法则系高阶法师安德尔。卢瓦尔对抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，而那个定点便是抛物线的焦点，那一条定直线就是抛物线的准线。

　　　　“这条抛物线的准线方程是y=…p/2，焦点则是0，p/2，引入极坐标，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ＋p/2。”

　　　　莱纳在黑板上流畅地书写着，他之前已经自己推导过一遍，因此现在只不过是复述而已。

　　　　“那么，这个抛物线上的点a到准线的距离就是r*cosθ＋p，到焦点的距离就是r，根据定义，这两者应当是相同的，即为r=r*cosθ＋p，稍微化简一下，以θ为自变量，就能得到一个表达式r=p/（1…cosθ）。”

　　　　计算式子在黑板上不断被书写，犹如一条条神秘的咒语，指引着一个奇妙的世界。

　　　　“将其带入原始的函数方程，很容易就能看出这两者是等价的，不过是同一个抛物线在不同坐标系下的不同数学表达而已。”

　　　　而很明显，极坐标的函数方程十分简洁，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。

　　　　莱纳在查阅这个世界的数学资料时，发现出人意料的，这里的数学发展比起其他方面的发展要落后许多，虽然各种曲线方程，三角函数的发展已经很快，大部分数学概念已经被确定下来，但涉及到微积分与数论方面的知识却鲜少有人讨论，至于虚数的领域更是尚不存在。

　　　　法则系的传奇法师伊萨里斯。艾伯顿阁下是微积分的创始者，但他最开始不过是为了用来描述自己的运动三大定律，完全没有想到将其发扬光大。

　　　　微积分的普及还是在数年之后，刚刚成为高阶法师的艾伯顿阁下所在的学校面临经费危机，他才想到将微积分作为法则系学生的必修课，当年学校的重修费收入便提高了百分之五百以上，顺利度过了危机，而微积分也开始成为中高阶法师们构筑法术模型时候的参考。

　　　　究其原因，莱纳认为有两点。

　　　　第一点，这毕竟是一个魔法的世界，古代法师们在没有任何数学理论的基础上照样发展出了灿烂辉煌的文明，对于绝大多数法师而言，经验直觉远比计算来得方便，而越是高阶法师，这一点体现得越明显。

　　　　用一个简单的例子来说明便是测量一个不规则桶的容积，人们既可以选择将其分解，不断积分得到最终答案，也可以选择直接用魔力灌满，得到答案，而后者显然简单粗暴得多。

　　　　高阶法师们就像是拥有强大计算力的机器，哪怕只用单纯的穷举法也能完成绝大多数法术模型的计算。

　　　　数学在这个世界归根结底还只不过是捷径，而强者不需要捷径，弱者的学识又不足以找到新的捷径，因此这个学科的发展一直没有人推动。

　　　　如今数学成果的进步大多还仰仗于现实中遇到了难以解决的问题，人们才会转头去寻求数学的帮助。

　　　　第二点，也是最重要的一点，那就是数学的发展无法获得世界的反馈。

　　　　即便莱纳提出了极坐标体系，但世界的反馈几乎不存在，一千八百年前泰勒斯。阿纳克希提出了三角形的阿纳克希定理，这重大发现却完全得不到世界的反馈，一度让他以为自己弄错了。

　　　　艾伯顿阁下创立的微积分也没有对他构筑法术模型和收获学生的怨念之外产生任何帮助，也正因此，直到现在，在法师的派系中也并没有专门研究数学的一派，更没有数学家，研究者大多分布在法则系与元素系之中，专注于用数学知识优化法阵与法术模型，更倾向于应用数学。

　　　　这个世界的学术体系之所以蓬勃发展，人们之所以对真理求贤若渴，很大一部分原因便是对世界真实的探索能够获得反馈，获取力量，而看起来“一无是处”的数学，自然就无人问津了。

　　　　“这太奇妙了。”

　　　　丹娜小声说道，倘若以莱纳得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的轨迹方程，她在今天之前，从来没有意识到数学竟然有这种奇妙的力量。

　　　　克莱尔陷入沉思，她想了想，才举起手，提问道。

　　　　“可这只能解释抛物线的轨迹，法术模型里还有更多更复杂的曲线，比如椭圆和双曲线，这些该怎么办？”

　　　　“这就是问题所在。”

　　　　莱纳微微一笑，接着在黑板上画出一个椭圆，建立极坐标，开始推演。

　　　　“椭圆的定义是平面上到两个定点的距离等于一个常数，并且大于两个定点之间距离的点的集合，同样存在着准线与焦点，定义可以转化为平面上到定点的距离与到准线的距离的比值为常数的点的集合，以同抛物线类似的方法带入。。。。。。”

　　　　莱纳的板书很规整，简单明了，丹娜也能迅速理解。

　　　　最终，椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e/（1…e*cosθ），e=b^2/a，e=c/a，a是椭圆的长轴的一般，而b则是短轴的一半，而c则是两个焦点之间的距离。

　　　　“这两个公式，很像。”

　　　　丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。

　　　　没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

　　　　双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

　　　　r=e/（1…e*cosθ）。

　　　　这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

　　　　“实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”

　　　　看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。

　　　　“当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”

　　　　他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

　　　　“由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”

　　　　放下粉笔，莱纳轻声说道。

　　　　“证明完毕。”

第七十二幕。兴趣是最好的老师（）　
在短短的一个小时之内，莱纳便将低阶魔法的法术模型中最常见的四种特殊曲线统一到了一个数学公式里，对于莱纳来说，这就是基础的高中数学知识，他记得不太清楚，自己推导了一遍也没花多少工夫，但这过程依旧看得克莱尔与丹娜一愣一愣的。

　　　　尤其是丹娜，过去，她一直认为数学是一门没什么用而且非常困难的学科，但此刻，在莱纳的笔下，数学却具有某种令人着迷的魅力。

　　　　而克莱尔，只能保持“喵喵喵？？？”的表情了。

　　　　“校长先生，既然这四种曲线都能够统一到这个函数方程里，那么其他的曲线是不是也能用这种方法表示？比如构筑潮涌术的德米拉螺线？”

　　　　丹娜问道，她觉得自己从没有像此刻一样对于数学充满好奇。

　　　　潮涌术是一种在水流中制造漩涡的低阶法术，虽然在高阶法师的手中，这个法术能够制造吞噬船只的漩涡，但在法师学徒的手里，潮涌术最大的用途是清洗衣物和餐具。

　　　　作为勤工俭学的丹娜最熟悉的恐怕就是这个法术。

　　　　“有可能，不过我觉得这需要你自己来推导。”

　　　　莱纳留了一个悬念，他已经从丹娜的眼神中看到了求知的光芒，对于一名学生而言，兴趣才是最好的老师，现在，他已经成功激起了丹娜的探究之心，剩下的，就是给予适当引导。

　　　　“所以这就是你所说的改良法术模型吗？”

　　　　克莱尔才意识到莱纳所说的话，的确，虽然从外在来看，不同的函数方程的确描绘出的是同一个轨迹，但其本质却已经大有不同。

　　　　法术模型虽然没有任何变化，但在纸面的世界里，它的确已经被“改良”了。

　　　　这是纯粹数学上的推导，是逻辑思维的过程，没有调动任何魔力，没有施放任何法术，便完成了这样的统一。

　　　　那么是否存在一种单纯依靠数学的证明推导来演绎魔法的途径呢？

　　　　克莱尔开始反思数学的真实作用，新月学院并没有专门的数学课，学生们接触数学只在法阵学一类涉及法术模型的课程上，就连克莱尔，除去构筑法术模型之外也并没有深入研究过数学。

　　　　“我给你布置一下作业，就是将光照术的法术模型以极坐标方式体现，三天之后，我们在学校广场检验一下成果，当然，这几天的数学试卷也不能放下。”

　　　　看着两位陷入思考的少女，莱纳说道，令丹娜的表情略微一滞，只能苦涩地点了点头。

　　　　“好吧。”

　　　　“你的生日就在最近吧，如果你表现得好，比如说成功施放了光照术的话，我可以考虑帮你弄一个大蛋糕庆祝一下。”

　　　　莱纳又说着，令这位平日里勤俭节约的少女眼神立刻明亮了起来。

　　　　“真的吗？”“多大的蛋糕？”

　　　　当然，同时眼神放光的还有克莱尔，她那跃跃欲试的模样就像一只伸出爪子的小猫咪，正看着眼前的食物蓄势待发。

　　　　“到时候就知道了。”

　　　　莱纳有些无奈，女生对于甜食天生就没有抵抗力，尤其是处于青春期的少女，时常要陷入摄取糖分与保持身材的纠结之中，不过看起来克莱尔倒是完全不在意。

　　　　“现在。”

　　　　莱纳看了看时间。

　　　　“我得整理一下今天的收获。”

　　　　。。。。。。

　　　　《一种全新的坐标系及其椭圆，双曲线，抛物线等曲线在此坐标系下的函数方程研究》。

　　　　莱纳写完论文，又重新翻阅了一下。

　　　　这篇论文很简单，几乎就是将今天下午在教室里给丹娜讲解的内容修整之后记录的，除去椭圆双曲线和抛物线外，莱纳还对德米拉螺线等其他的曲线进行了极坐标方程的推导，将低阶法术中所出现的绝大多数曲线都纳入了极坐标的体系之下。

　　　　当然，就如同当年泰勒斯。阿纳克希提出三角形的阿纳克希定理之时类似，世界的反馈并没有出现，莱纳的心湖没有泛起丝毫涟漪。

　　　　轻声叹息，但莱纳也没有感到太过遗憾，至少他自己进阶的时候还能用上这些理论。

　　　　按照常理来说，判断一位学徒进阶一环法师的标准，是能否将至少一个一环法术铭刻进灵魂之中。

　　　　这个说法有些难以理解，莱纳在阅读过相关的文献之后大致总结了一下。

　　　　如果说法师是一台计算机，那么心湖就等同于操作系统，而将一环法术铭刻进灵魂，就类似于在操作系统里安装一个程序软件。

　　　　铭刻进灵魂的法术会导致心湖发生一定程度上的改变，同时，这个法术的施法过程将会变得异常简洁，迅速到就像在电脑里点开应用程序一般。

　　　　而其他的法术，依旧需要重复构筑，相对繁琐，同时，一个人的心湖能够承载的法术也是有极限的，不能无限铭刻，所以选择铭刻的法术也十分重要。

　　　　莱纳还在此了解到了古代魔法与现代魔法的最大区别，那就是构筑的方式。

　　　　还是以计算机举例，古代法师相当于拿到了一台没有任何应用软件的电脑，所有的魔法都需要即时编程，而且一旦施放之后，就要重复编程实现，这样的缺点很明显，就是对于法师本人的要求十分之高，个体差异巨大，优点则是可以随机应变，相当灵活。

　　　　而赫尔曼。布拉格斯阁下开创的现代魔法，便是将各个法术都固定下来，建立法术模型，只需要将魔力注入其中便可以使用魔法，这就像是将程序封装为了软件，需要的时候点开就行。

　　　　由此，魔法才能够普及，虽然变得有些不灵活，但更加平易近人。

　　　　莱纳选择的一环法术是简单的火球术，这个法术拥有一定的杀伤力足以自保，同时，莱纳对于燃烧反应的研究也能辅助改进这个法术。

　　　　最重要的是，莱纳一直很想体验一下手搓大火球的快感！

　　　　此时，他坐在自己的房间里，桌面上是火球术的法术模型，拥有三十二个法术节点和一百零三个魔力通道，包含了直线，正圆，抛物线与双曲线，整个模型虽然并不对称分布，但也具有某种异样的美