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狭义与广义相对论浅说-第5部分
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盏�12节得出的结果可知，第二个钟永远比放在圆盘中心的钟走得慢，亦即从K去观察，情况就会这样。显然，我们设想坐在圆盘中心那个钟旁边的一个观察者也会观察到同样的效应，因此；在我们的圆上，或者把情况说得更普遍一些，在每一个引力场中，一个钟走得快些或者慢些，要着这个钟（静止地）所放的位置如何。由于这个缘故，要借助于相对于参考物体静止地放置的钟来得出合理的时间定义是不可能的。我们想要在这样一个例子中引用我们早先的同时性定义时也遇到了同样的困难，但是我不想再进一步讨论这个问题了。
此外，在这个阶段，空间坐标的定义也出现不可克服的困难，如果这个观察者引用他的标准量杆（与圆盘半径相比，一根相当短的杆），放在圆盘的边上并使杆与圆盘相切，那么，从伽利略坐标系去判断，这根杆的长度就小于1，因为，按照第12节，运动的物体在运动的方向发生收缩。另一方面，如果把量杆沿半径方向放在圆盘上，从K去判断，量杆不会缩短。那么，如果这个观察者用他的量杆先量度圆盘的圆周，然后量度圆盘的直径，两者相除，他所得到的商将不会是大家熟知的数π3。14…，而是一个大一些的数；而对于一个相对于K保持静止的圆盘，这个操作和运算当然就会准确地得出π。这证明，在转动的圆盘上，或者普遍他说，在一个引力场中，欧几里得几何学的命题并不能严格地成立，至少是如果我们把量杆在一切位置和每一个取向的长度都算作1的话，因而关于直线的观念也就失去了意义：所以我们不能借助于在讨论狭义相对论时所使用的方法相对于圆盘严格地来了坐标x；y；z的定义；而只要事件的坐标和时间的定义还没有给出，我们就不能赋予（在其中出现这些事件的）任何自然律以严格的意义。
这样，所有我们以前根据广义相对论得出的结论看来也就有问题。在实际情况中我们必须作一个巧妙的迂回才能够严格地应用广义相对论的公设。下面我将帮助读者对此作好准备。
24。 欧几里得和非欧几里得连续区域
一张大理石桌摆在我的面前，眼前展开了巨大的桌面。在这个桌面上，我可以这样地从任何一点到达任何其他一点，即连续地从一点移动到“邻近的”一点，井重复这个过程若干（许多）次，换言之，亦即无需从一点“跳跃”到另一点，我想读者一定会足够清楚地了解我这里所说的“邻近的”和“跳跃”是什么意思（如果他不过于咬文嚼字的话）．我们把桌面描述为一个连续区来表示桌面的上述性质。
我们设想已经做好了许多长度相等的小杆，它们的长度同这块大理石板的大小相比是相当短的。我说它们的长度相等的意思是，把其中之一与任何其他一个适合起来，它们的两端都能彼此重合，其次我们取四根小杆放在石板上，构成一个四边形（正方形），这个四边形的对角线的长度是相等的，为了保证对角线相等，我们另外用了一根小测杆。我们把几个同样的正方形加到这个正方形上，加上的正方形每一个都有一根杆是与第一个正方形共用的。我们对于这些正方形的每一个都采取同样的做法，直到最后整块石板都铺满了正方形为止。这个排列是这样的，一个正方形的每一边都隶属于两个正方形，每一个隅角都隶属于四个正方形。
如果我们能够把这项工作做好而没有遇到极大的困难，那只要三个正方形相会于一隅角，那么第四个正方形的两个边就已经摆出；因此，这个正方形下余两边的排列位置也就已经完全确定下来，但是这个时候我就不能再调整这个四边形使它的两根对角线相等了．如果这两根对角线出于它们的自愿而相等，那么这是石板和小杆的特别恩赐，对此我只能怀着感激的心情而惊奇不己。如果这个作同法能够成功的话：那么这种令人惊奇的事情我们必然会经验到许多次。
如果凡事都进行得真正顺利，那么我就说石板上的诸点对于小杆而言构成一个欧几里得连续区域，这里小杆曾当作“距离”（线间隔）使用。选取一个正方形的一个隅角作为“原点”我就能够用两个数来表示任一正方形的任一隅角相对于这个原点的位置。我只须说明，我从原点出发，向“右”走然后向“上”走，必须经过多少根杆子才能到达所考虑的正方形的隅角。这两个数就是这个隅角相对于由排列小杆而确定的“笛卡儿坐标系”的“笛卡儿坐标”。
如果将这个抽象的实验作如下改变，我们就会认识到一定会出现这种实验下能成功的情况。我们假定这些杆于是会：“膨胀”的，膨胀的量值与温度升高的量值成正比。我们将石板的中心部分加热，但周围不加热，在这个情况下，我们仍然能够使两根小杆在桌面上的每一个位置上相互重合。但是在加热期间我们的正方形作图就必然会受到扰乱，因为放在桌面中心部分的小杆膨胀了，而放在外围部分的小杆则不膨胀。
对于我们的小杆——定义为单位长度——而言，这块石板不再是一个欧几里得连续区，而且我们也不再能够直接借助于这些小杆来定义笛卡儿坐标，困为上述的作图法已无法实现了。但是由于有一些其他的事物并不象这些小杆那样受桌子温度的影响（或许丝毫不受影响），因而我们有可能十分自然地支持这样的观点，即这块石板仍是一个“欧几里得连续区”，为此我们必须对长度的量度或比较作一更为巧妙的约定，才能够满意地实现这个欧几里得连续区。
但是如果把各种杆子（亦即用各种材料做成的杆子）放在加热不均匀的石板上时它们对温度的反应都一样，并且如果除了杆子在与上述实验相类似的实验中的几何得为之外没有其他的方法来探测温度的疚，那么最好的办法就是：只要我们能够使杆子中一根的两端与石板上的两点相重合，我们就规定该两点之间的距离为1；因为，如果不这样做，我们又应该如何来下距离的定义才不致在极大的程度上犯粗略任意的错误呢？这样我们就必须舍弃笛卡儿坐标的方法，而代之以不承认欧几里得几何学对刚体的有效性的另一种方法。读者将会注意到，这里所描述的局面与广义相对性公设所引起的局面（第23节）是一致的。
25．高斯坐标
按照高斯的论述，这种分析方法与几何方法结合起来的处理问题的方式可由下述途径达成，设想我们在桌面上画一个任意曲线系（见图4）。
我们把这些曲线称作u曲线，并用一个数来标明每一根曲线，在图中画出了曲线u1；u2和u3； 我们必须设想在曲线u1；u2 之间画有无限多根曲线，所有这些曲线对应于1和2之间的实数，这样我们就有一个u曲线系，而且这个“无限稠密”曲线系布满了整个桌面，这些u曲线必须彼此不相交，并且桌面上的每一点都必须有一根而且仅有一根曲线通过。因此大理石板面上的每一个点都具有一个完全确定的u值。我们设想以同样的方式在这个石板面上画一个v曲线系。这些曲线所满足的条件与u曲线相同，并以相应的方式标以数字，而且它们也同样可以具有任意的形状，因此，桌面上的每一点就有一个u值和一个v值。我们把这两个数称为桌面的坐标（高斯坐标），例如图中的P点就有高斯坐标u3； v1。这样，桌面上相邻两点P和P'就对应于坐标
P： u；v
P'：u＋du；v＋dv
其中du和dv标记很小的数。同样，我们可以用一个很小的数ds表示P和P'之间的距离（线间隔），好象用一根小杆测量得出的一样。于是，按照高斯的论述，我们就有
其中g11；g12；g22是以完全确定的方式取决于u和v的量。量g11；g12；g22决定小杆相对于u曲线和v曲线的行为，因而也就决定小杆相对于桌面的行为。对于所考虑的面上的诸点相对于量杆构成一个欧几里得连续区的情况，而且只有在这个情况下，我们才能够简单地按下式来画出以及用数字标出u曲线和v曲线：
在这样的条件下，u曲线和v曲线就是欧几里得几何学中的直线，并且它们是相互垂直的。在这里，高斯坐标也就成为笛卡儿坐标。显然，高斯坐标只不过是两组数与所考虑的面上的诸点的一种缔合，这种缔合具有这样的性质，即彼此相差很微小的数值各与“空间中”相邻诸点相缔合。
到目前为止，这些论述对于二维连续区是成立的。但是高斯的方法也可以应用到三维、四维或维数更多的连续区。例如，如果假定我们有一个四维连续区，我们就可以用下述方法来表示这个连续区，对于这个连续区的每一个点，我们任意地把四个数x1；x2；x3；x4与之相缔合，这四个数就称为“坐标”。相邻的点对应于相邻的坐标值。如果距离ds与相邻点P和P'相缔合，而且从物理的观点来看这个距离是可以测量的和明确规定了的，那么下述公式成立：
其中g11等量的值随连续区中的位置而变。唯有当这个连续区是一个欧几里得连续区时才有可能将坐标x1。。x4与这个连续区的点简单地缔合起来，使得我们有
在这个情况下，与那些适用于我们的三维测量的关系相似的一些关系就能够适用于这个四维连续区。
但是我们在上面提出的表达ds2的高斯方法并不是经常可能的，只有当所考虑的连续区的各个足够小的区域被当作是欧几里得连续区时，这种方法才有可能。例如，就大理石桌面和局部温度变化的例子而言，这一点显然是成立的。对于石板的一小部分面积而言，温度在实际上可视为恒量；因而小杆的几何行为差不多能够符合欧几里得几何学的法则。因此，前节所述正方形作图法的缺陷要到这个作图扩展到了占桌面相当大的一部分时才会明显地表现出来。
我们可以对此总结如下：高斯发明了对一般连续区作数学表述的方法，在表述中下了“大小关系”（邻点间的“距离”）的定义。对于一个连续区的每一个点可标以若干个数（高斯坐标），这个连续区有多少维，就标多少个数。这是这样来做的：每个点上所标的数只可能有一个意义，并且相邻诸点应该用彼此相差一个无穷小量的数（高斯坐标）来标出。高斯坐标系是笛卡儿坐标系的一个逻辑推广。高斯坐标系也可以适用于非欧几里得连续区，但是只有在下述情况下才可以，即相对于既定的“大小”或“距离“的定义而言，我们所考虑的连续区的各个小的部分愈小，其表现就愈象一个真正的欧几里得系统。
26．狭义相对论的空时连续区可以当作欧几里得连续区
现在我们已有可能更严谨地表述闵可夫斯基的观念，这个观念在第17节中只是含糊地谈到一个。按照狭义相对论，要优先用某些坐标系来描述四维空时连续区。我们把这些坐标系称为“伽利略坐标系”。对于这些坐标系，确定一个事件或者换言之确定四维连续区中一个点所用的四个坐标x；y；z；t；在物理意义上具有简单的定义，这在一书第一部分已有所详述。从一个伽利略坐标过渡到相对于这个坐标系作匀速运动的另一个伽利略坐标系时，洛伦兹变换方程是完全有效的。这些洛伦兹变换方程构成了从狭义相对论导出推论的基础，而这些议程的本身也只不过是表述了光的传播定律对于一切伽利略参考系的普适有效性而已。
闵可夫斯基发现洛伦兹变换满足下述简单条件。我们考虑两个相邻事件，这两个事件在四维连续区中的相对位置，是参照伽利略参考物体K用空间坐标差dx；dy；dz和时间差dt来表示的。我们假定这两具事件参照另一个伽利略坐标系的差相应地dx'；dy'；dz'；dt'。那么这些量总是满足条件。
洛伦兹变换的有效性就是由这个条件来确定，对此我们又可以表述如下：
属于四维空时连续区的两个相邻点的这个量
对于一切选定的（伽利略参考物体，皆具有相同的值。如果我们用x1；x2；x3；x4代换x；y；z，，我们也得出这样的结果，即
与参考物体的选取无磁疗。我们把量ds称为两个事件或两个四维点之间的“距离”。
因此，如果我们不选取实量t而先取虚变量作为时间变量，我们就可以——按照狭义相对论——把空时连续区当作一个“欧几里得”四维连续区，这个结果可以由前节的论述推出。
27．广义相对论的空时连续区不是欧几里得连续区
在本书的第一部分，我们能够使用可以对它作简单而直接的物理解释的空时坐标，而且，按照第26节，这种空时坐标可以被看作四维笛卡儿坐标：我们能够这样做，是以光速恒定定律为基础的。但是按照第21节，广义相对论不能保持这个定律。相反，按照广义相对论我们得出这样的结果，即当存在着一个引力场时，光速必须总是依赖于坐标。在第23节讨论一个具体例子时，我们发现，曾经使我们导致狭义相对论的那种坐标和时间的定义，由于引力场的存在而失效了。
鉴于这些论述的结果，我们得出这样的论断，按照广义相对论，空时连续区不能被看作一个欧几里得连续区；在这里只有相当于具有局部温度变化的大理石板的普遍情况，我们曾把它理解力一个二维连续区的例子。正如在那个例子里不可能用等长的杆构成一个笛卡儿坐标系一样，在这里也不可能用刚体和钟建立这样一个系统（参考物体），使量杆和钟在相互地作好刚性安排的情况下可用以直接指示位置和时间。这是我们在第23节中所遇到的困难的实质所在。
但是第25节和第26节的论述给我们指出了这个困难的道路。对于四维空时连续区我们可以任意利用高斯坐标来作参照。我们用四个数x1；x2；x3；x4（坐标）标出连续区的每一个点（事件），这些数没有丝毫直接的物理意义，其目的只是用一种确定而又任意的方式来标出连续区的各点。四个数的排列方法甚至无需一定要把x1；x2；x3当作“空间”坐标把x4 当作“时间”坐标。
读者可能会想到，这样一种，世界的描述是十分不够格的。如果x1；x2；x3；x4这些特定的坐标本身并无意义，那么我们用这些坐标标出一个事件又有什么意义？但是，更加仔细的探讨表明，这种担忧是没有根据的。例如我们考虑一个正在作任何运动的质点。如果这个点的存在只是瞬时的，并没有一个持续期间，那么这个点在空时中即由单独一组x1；x2；x3；x4的数值来描述。因此，如果这个点的存在是永久的，要描述这个点，这样的数值组就必须有无穷多个，而且其坐标值必须紧密到能够显示出连续性；对应于这个质点，我们就在四维连续区中有一根（一维的）线。同样，在我们的连续区中任何这样的线，必然也对应于许多运动的点，以上对于这些点的陈述中实际上只有关于它们的会合的那些陈述才称得起具有物理存在的意义。用我们的数学论述方法来说明，对于这样的会合的表述，就是两根代表所考虑的点的运动的线中各有特别的一组坐标值x1；x2；x3；x4是彼此共同的。经过深思熟虑以后，读者无疑将会承认，实际上这样的会合构成了我们在物理陈述中所遇到的具有时空性质的唯一真实证据。
当我们相对于一个参考物体描述一个质点的运动时，我们所陈述的只不过是这个点与这个参考物体的各个特定的点的会合。我们也可以借助于观察物体和钟的会合，井协同观察钟的指针和标度盘上特定的点的会合来确定相应的时间值。使用量杆进行空间测量时情况也正是这样，这一点稍加考虑就会明白。
下面的陈述是普遍成立的：每一个物理描述本身可分成许多个陈述，每一个陈述都涉及A 、B两事件的空时重合。从高斯坐标来说，每一个这样的陈述，是用两事件的四个坐标x1；x2；x3；x4相符的说法来表达的；因此实际上，使用高斯坐标所作的关于时空连续区的描述可以完全代替必须借助于一个参考物体的描述，而且不会有后一种描述方式的缺点；国为前一种描述方式不必受所描述的连续区的欧几里得特性的限制。
28．广义相对性原理的严格表述
现在我们已经有可能提出广义相对性原理的严格表述来代替第18节中的暂时表达。第18节中所用的表述形式是，“对于描述自然现象（表述普遍的自然界定律）而言，所有参考物体K、K’等都是等效的，不论它们的运动状态如何，”这个表述形式是不能够保持下去的，因为，按照狭义相对论的观念所推出的方法使用刚性参考物体作空时描述，一般说来是不可能的，必须用高斯坐标系代替参考物体。下面的陈述才与广义相对性原理的基本观念相一致：“所有的高斯坐标系对于表述普遍的自然界定律在本质上是等效的。”
我们还可以用另一种形式来陈述这个广义相对性原理。用这种形式比用狭义相对性原理的自然推广形式更加明白易懂，按照狭义相对论，当我们应用洛伦兹变换，以一个新的参考物体K’的空时变量x'；y'；z'；t'代换一个（伽利略）参考物体K的空时变量x；y；z；t时，表述普遍的自然界定律的方程经变换后仍取同样的形式。另一方面，按照广义相对论，对高斯变量x1；x2；x3；x4应用任意代换，这些方程经变换后仍取同样的形式；因为每一种变换（不仅仅是洛伦兹变换）都相当于从一个高斯坐标系过渡到另一个高斯坐标系。
如果我们愿意固执我们“旧时代”的对事物的三维观点，那么我们就可以对广义相对论的基本观念目前发展的特点作如下的描述，狭义相对论和伽利略区域相关，亦即和其中没有引力场存在的区域相关。就此而论，一个伽利略参考物体在充当着参考物体，这个参考物体是一个刚体，其运动状态必须选择得使“孤立”质点作匀速直线运动的伽利略定律相对于这个刚体是成立的。
从某些考虑来看，我们似乎也应该把同样的伽利略区域引入于非伽利略参考物体。那么相对于这些物体就存在着一种特殊的引力场（见第20节和第28节），在引力场中，并没有象具有欧几里得性质的刚体那样的东西；因此，虚设的刚性参考物体在广义相对论中是没有用处的。钟的这动也受引力场的影响，由于这种影响，直接借助于钟而作出的关于时间的物理定义不可能达到狭义相对论中同样程度的真实感。
由于这个缘故，我们使用非刚性参考物体，这些物体整个说来不仅其运动是任意的，而且在其运动过程中可以发生任何形变。钟的运动可以遵从任何一种运动定律，不论如何不规则，但可用来确定时间的定义。我们想象每一个这样的钟是在非刚性参考物体上的某一点固定着。这些钟只满足这样的一个条件，即从（空间中）相邻的钟同时观测到的“读数”彼此仅相差一个无穷小量。这个非刚性参考物体（可以恰当地称作”软体动物参考体”）基本上相当于一个任意选定的高斯四维坐标系。与高斯坐标系比较，这个“软体动物”所具有的某些校易理解之处就是形式上保留了空间坐标和时间坐标的分立状态（这种保留实际上是不合理的）．我们把这个软体动物上的每一点当作一个空间点，相对于空间点保持静止的每一个质点就当作是静止的，如果我们把这个软体动物视为参考物体的活。广义相对性原理要求所有这些软体动物都可以用作参考物体来表述普遍的自然界定律，在这方面，这些软体动物具有同等的权利，也可以取得同样好的结果；这些定律本身必须不随软体动物的选择而变易。
由于我们前面所看到的那些情况，广义相对性原理对自然界定律作了一些广泛而具明确性的限制，广义相对性原理所具有的巨大威力就在于此。
29．在广义相对性原理的基础上解引力问题
如果读者对于前面的论述已经全部理解，那么对于理解引力问题的解法，就不会再有困难。
我们从考察一个伽利略区域开始，伽利略区域就是相对于伽利略参考物体K其中没有引力场存在的一个区域。量杆和钟相对于K的行为已从狭义相对论得知，同样，“孤立”质点的行为也是已知的；后者沿直线作匀速运动。
我们现在参照作为参考物体K’的一个任意高斯坐标系或者一个“软体动物”来考察这个区域。那么相对于K'，就存在着一个引力场G（一种特殊的引力场）。我们只利用数学变换来察知量杆和钟以及自由运动的质点相对于K’的行为。我们把这种行为解释力量杆、钟和质点在引力场G的影响下的行为。此处我们引进一个假设：引力场对量杆、钟和自由运动的质点的影响将按照同样的定律继续发生下去，即使当前存在着的引力场不能简单地通过坐标变换从伽利略的特殊情况推导出来。
下一步是研究引力场G的空时行为，引力场G过去是简单地通过坐标变换由伽利略的特殊情况导出的。将这种行为表述为一个定律，不论在描述中所使用的参考物体（软体动物）如何选定，这个定律始终是有效的。
然而这个定律还不是普遍的引力场定律，固为所考虑胁引力场是一种特殊的引力场。为了求出普遍的引力场定律。我们还需要将上述定律加以推广，这一推广可以根据下述要求妥善
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