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学习哪有那么难-第4部分
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，因为三垂线定理在立体几何中是一个核心的定理。〃两种关系〃就是平行、垂直关系。那平行又有几种情况呢？平行分线线平行、线面平行、面面平行，垂直又分线线垂直、线面垂直、面面垂直。线线平行，课本上给出了五种判断方法，我让学生自己去找这五种方法，怎么找呢？课本上的公理、定理都可以作为判断方法，课本上的黑体字，即使出现在一个习题里，但是只要是黑体字，也可以作为结论用。听了我的话，学生就不是一页一页地仔细看书了，而是一本书一本书地看。我要求学生学会证明每一个判断方法，学会三种表达方式，那么学生做起来感觉很轻松。〃三个角〃就是两条异面直线组成的角、直线和平面组成的角、两个平面组成的角……在这样一种枝干下，引导着学生顺着每一个分支往下联想，学生就会浮想联翩，这本书就装在了学生的心中，记起来就很轻松，而且他们非常乐意做这样的事情。
所以我觉得要增强记忆力，需要在一种整体的架构下来进行科学的规划，可能你记忆的负担就很轻，而且记忆效果很好。
当然记忆最重要的就是要多重复。我上大学的时候，一个老师给我们开过一个玩笑，我到现在记忆很深。他说学了东西过目不忘的人是不长命的，一个正常的人都会遗忘的，遗忘是一种很正常的现象，但是和遗忘作斗争的最有力的工具就是重复。我们的期中复习、期末复习、每周的小结等，都是很好的重复，可以有效增强记忆。
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第21节：听课也要有效率
听课也要有效率
学生从老师这儿得到的东西应该是课下自己学习时很难得到的，如果学生在课堂上不能保证高效率，那他的损失将是巨大的，可能课后得用三五堂课的时间来弥补损失，还不一定能弥补过来。
考试高水平的发挥应该来源于平常有扎实的基础，怎么样搞好平常的学习呢？我觉得最重要的一个环节就是提高听课的效率。
学生一天主要的时间都用来听课，听课就是在老师的引导、帮助下学习，所以每天保证课堂的听课效率，是搞好学习的一个关键环节。我们的老师经过那么多年的大浪淘沙，他们对这个学科的把握、理解、领会比学生要高得多，再加上教研组的老师一起备课、一起探讨，最后凝结成一节课的内容，在课堂上展示给学生的时候，学生就等于站在巨人的肩膀上。而且学生从老师这儿得到的东西应该是课下自己学习时很难得到的，如果一个学生在课堂上不能保证高效率，那么他的损失将是巨大的，可能课后得用三五堂课的时间来弥补损失，还不一定能弥补过来。
一个学生的学习其实分成三个环节课前、课中、课后，我发现现代化的手段如果能发挥作用的话，只能在课前的准备预习和课后的复习中，课中这一段是任何现代化的手段都没法儿取代的。课堂充满着一种人性化的东西，老师和学生之间的一个鼓励的眼神、一个友好的微笑，或者让学生上黑板去做一个题，学生做完之后的那种成就感，老师表扬或者同学给他掌声之后的那种荣誉感，同学之间相互交流问题、相互竞争、相互帮助形成的这种学习的氛围……这些东西是任何现代化的手段都没法儿取代的。如果说课堂可以用现代化的手段取代的话，我们完全可以在全国找几个非常突出的老师，就在演播室里讲课，让全国的学生坐在家里用看电视的方式学习。这样既节省了聘用这么多老师的工资，又因为找了最优秀的教师，讲课的效果自然很好，应该说，是一举数得之事。实际上并非如此，我国在20世纪80年代相当红火的电视大学不就是这样吗？结果发现，全国的电视大学很多都办不下去了，这就是课堂的重要性。因为课堂充满师生相互沟通的真情碰撞，充满人性关怀的光芒。
一个会学习的学生，首先得保证课堂的高效率，我认为应注意如下几点。
完成作业是提高听课效率的前提
老师每讲完一节课，如果这节课很重要，或者这节课是后续课程的铺垫的话，一般都要布置作业的，这种作业其实就是让学生温故知新。你通过做作业，使上一节课的内容得到巩固、夯实、提高，这样你下一节课听课的时候就显得轻松。如果下一节课老师要讲的内容，恰好是在上一节课的基础上展开的，老师上一节课布置的作业你没有认真完成，下节课你听着就很累。于是就形成一个恶性循环，上节课没学好的东西影响到下一节课，下一节课听不懂又会影响以后的，遗留的问题就像滚雪球一样，这样很可能就因为一次作业没完成，导致了这一个阶段效果都很差，积重难返。所以对老师布置的作业必须认真对待。
但是现在很多学生不重视作业，有时候就是应付，甚至还有一些学生抄袭作业。确实，现在我国的学生也很苦，这个学科也布置作业，那个学科也布置作业，导致学生经常完不成作业。我看有些资料上介绍，如果一个学生把各科老师每天布置的作业都做完的话，那么这个学生在精力比较旺盛的状态下，大约得做到第二天的天亮，就更别提精神委靡的时候了。确实有这种失控的现象，学校如果不注意整体作业的协调，不注意对老师这种行为的限制，就会导致很多老师不负责任地布置大量的作业，学生经常做到深夜也做不完，影响睡眠，从而影响第二天的听课。遇到类似的情况，学生也不能因为作业多，就不睡觉了，我觉得你要注意选择。比如说今天布置的数学作业，要是对明天的数学课非常重要，你应该优先保证把数学作业做好。今天布置了物理作业，但是明天没有物理课，如果你的时间确实不够，可以把这一科作业暂时拖一拖。我说的是在时间严重不够的前提下。当然了，很多学生完不成作业，不是因为老师布置的作业太多，而是他本人学习的时候太磨蹭，太贪玩。
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第22节：预习功课才能在听课时有的放矢
预习功课才能在听课时有的放矢
预习并不是说把下一节课的内容自学一遍，而是你大约利用五分钟的时间，把第二天老师要讲的课程快速地看一遍。你这五分钟的付出能产生三个效果：第一个效果，你知道老师明天讲的内容哪些是你熟悉的，哪些是你比较陌生的。一个学生很难保证一堂课精力始终高度集中，那么你通过这五分钟看一看，明天老师要讲的内容中，你对哪些内容确实感觉比较陌生，第二天老师讲到这个地方的时候，你就自然地集中精力了，这样听课时就有非常好的针对性。第二个效果，因为第二天老师要讲的课对你来说是陌生的，其实一个人的探寻精神往往体现在对陌生事物产生兴趣，如果一看老师明天要讲的内容挺刺激，学习的兴趣就被激发起来了，你往往就愿意主动地去学习。第三个效果，通过提前预习，可以对未知的领域做一番思考，这样就慢慢地使你的自学能力得到了很好的培养。其实大家都知道，21世纪就是一个终生学习的世纪，一个人在学校学的那些东西是微不足道的，需要在你工作之后不断地涉猎大量新的知识，所以自学的能力是一个人非常重要的生存本能，你通过预习能够提升自己这种本能，可以使你受益终生。
不要以为预习是一件很难的事，一个学科，你只需拿出五分钟，就能够做好。我估计一天顶多有六节课，那么每一节课拿出五分钟来，你只需一天拿出30分钟就可以解决这个问题，但是这30分钟对你以后的学习带来的积极影响却是不可估量的。
老师讲课要留有余地
这是对教师提的建议。既然一个学生很难做到40分钟高度集中，那么老师就得保证，在最短的时间内把最重要的东西讲深讲透，然后腾出一些时间来让学生互动，让学生练习做题，这样的课堂才是高效的。如果一个老师满堂灌，一节课全是老师自言自语，中间没有互动，学生往往难以集中精力，这样的课堂效率不可能高。一堂课最重要的不是看老师讲了多少，而是看学生接受了多少。很多老师上课不在乎这件事，他就只管滔滔不绝地讲，至于学生能不能接受得了，不是他的事。我觉得这样做，说明老师对学生不尊重。如果一个老师不尊重学生，他其实也是不尊重自己。
我记得我刚工作不久，就调到了沂水一中。当时我们学校的校长叫唐乐群，他这个人治学严谨，作风硬朗，他对所有老师提出一个奇怪的要求：一节课45分钟，老师纯讲课的时间绝对不能超过25分钟。他不是喊口号，而是亲自去检查。唐校长大部分时间奔波于各个教室里，而且他听课也不跟老师打招呼，悄悄地就进去了。他听课，除了看教师的表现外，主要是给老师掐着时间。只要这节课，老师的讲解超过了25分钟，你就算讲得天花乱坠，他也是一票否决。而且这个校长只要对某个老师不满意，他一定上报到教育局，让教育局通知你办调职手续，回到农村去。我们这些人好不容易到了县城，找对象就有保障了，要是把我们发配到农村，连个媳妇儿都找不到，这是一个比较现实的问题。大家对沂水一中都是非常看好的，由于校长有这样的规定，我们每个老师都感到非常有压力。我就对自己有一个要求，为了提高课堂的效率，我必须提前进行大量的备课，我得保证我说的每一句话、布置的每一个题都烂熟于心，所以我上课不带课本、不带教案。
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第23节：别让记笔记影响听课的效果
有一年我给高一的新生讲课，我提前到教室去，空着个手，就在教室门口游荡，那些学生看到门口有个人晃来晃去的，就在那儿议论，这个人是学生家长来找学生，还是学校打扫卫生的呢？上课铃声一响，我往讲台上一站，学生才知道，原来我是个老师。我从那个时候开始，在唐校长的严格要求下，自觉地形成了这个习惯，以后我讲课基本不带讲义，但是我备课时却比一般人付出更多。如果说我现在的语言表达能力还有点水平的话，那完全得益于唐校长的严格要求。所以我到现在还非常感谢他，我认为他的做法确实非常符合科学规律和教育实际。
别让记笔记影响听课的效果
我在人大附中基本上是教一个最好的实验班和一个普通班，我发现这两个班出现一个非常明显的差别，实验班的学生没有几个做笔记的，上课瞪着眼，手里拿着笔，连纸都没有。我讲到某个地方，学生的手就开始动，甚至有时候眼睛看着黑板，手在下边演算。结果我一个题讲完，学生的答案也就出来了。例如，我列出一个题目来，我一边列一边讲思路，结果学生的思路基本能跑到我的前边，我这个题抄完了，他们的答案也就出来了。
但是普通班是什么情况呢？我讲题，在黑板上写，学生在下边抄，我写完就开始讲了，学生还没抄完，他们就先顾着抄完。所以他们的笔记做得都很认真，但是记笔记的目的是把老师讲的话基本上原封不动地照搬到笔记里边光顾着抄笔记了，老师讲的内容他都顾不上听，或者听得似是而非。这样完全是本末倒置，记笔记的目的本来是对听课的一种补充，结果这些学生上课的主要任务是记笔记，听课倒成了次要的。最后导致课堂上听不明白，笔记倒是记了一大堆，课后又没有时间去看笔记，所以一个学期下来，笔记记了好几大摞，最后束之高阁，没有多大意义。
我觉得一个学生要学会听课，其中很重要的一个方面就是要学会记笔记。我给学生的建议是，把笔记记在课本上。因为学生的课本都比较大，16开的，旁边都留下了一片空白，这个空白的部分其实就是让学生上课做笔记的。学生上课应该集中精力，以听讲为主，重点记什么呢？第一，老师对课本补充的内容，快速地在那个课本的旁边记下来；第二，你上课时特别感兴趣的地方，在课本上记下来；第三，老师讲得比较快，或者你当时课堂上开小差儿，某个问题没听懂，抓紧时间记下来，课后一定要补上。这样你的负担不会太重，而且你把它记在课本的旁边，到复习的时候，你把书翻出来，你的记录清清楚楚地融入你的课本中，效果非常好。
一个学生要协调好记笔记与听课的关系，这是提升课堂质量的重要的环节。
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第24节：调整好自己的作息时间
调整好自己的作息时间
只有调整好自己的作息时间，才能保证上课的时候有精神。有些学生课间疯狂地玩，一上课就开始犯迷糊。而有些学生正相反，十分珍惜时间，在中午休息时拼命地做作业，这是很不好的。因为吃了饭以后，学生大脑是缺氧的，这个时候学习效率很低。拼命地学习、做作业，把精力用完了，到了下午上课，就开始睡觉了。有些学校下午第一节课，班里睡倒一片，我觉得这些学生挺亏的。利用课堂时间睡觉，利用课间去学习，这是捡了芝麻，丢了西瓜。所以一定要调整好自己的生物钟，让自己上课兴奋，下课可以打个盹，这样才能形成课堂的高效率。
听课要紧跟老师的思路
一个学生上课，跟着老师积极思维，而且是批判性的思维，这是难能可贵的，但是过犹不及。比如老师讲到一个问题，他觉得挺好，就不跟着老师听了，顺着这个问题，无限地往下想。结果老师已经讲到别的地方去了，他还在那个地方长期出不来，最后那个问题也没想出来，老师这一节课讲的内容也没有听进去，损失很大。所以课堂上，听着感兴趣的东西，抓紧把它记下来，还是要跟着老师的思路走，而不是说按照自己的思路，不想明白绝不罢休。甚至有些学生，在课堂上只要有了跟老师不同的思路，就不让老师继续讲下去，〃老师你得停下来，你得跟我讨论，这个问题我们必须辩论个水落石出〃，结果全班同学都在那儿等着，这样对其他同学是不公平的。
积极思考、大胆发言
学生如果是积极举手、积极回答问题，手脑并用，听课效率必然很高，这样的学生就不容易走神，他的课堂效率就得到保证了。我感到，一个学生能够做到眼到、耳到、笔到、神到，这才叫听课。进入这种境界的学生，他的听课效率才是最高的，必然会出现事半而功倍的效果。
数学其实很好学
数学之美，美在它的对称和谐，美在它的跌宕起伏，美在它的波澜壮阔，美在它的茅塞顿开，美在它的一题多解，美在它的多题一解，甚至美在它的小题大做。
现在很多学生害怕数学，但是你看，我们从幼儿园期间就开始学数学，一直学到高中，甚至到大学和研究生阶段。数学这么一个看似没有用的东西，为什么从幼儿园就一直开始学呢？这是数学本身的特点决定的，不光是中国，别的国家也是如此。我记得有一个叫克莱因的科学家说过这样一段话：唱歌能让你焕发激情，美术能让你赏心悦目，诗歌能使你拨动心弦，哲学能让你增长智慧，科学能改变你的物质生活，但数学能给你以上的这一切。我觉得这句话，对数学的描述，是非常准确的。
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第25节：数学是一个换脑子的学科
数学是一个换脑子的学科
我们现在就来一起认识一下数学吧。第一，数学是一种换脑子的学科。当你的思维比较迟钝的时候，通过数学的刺激能够变得灵敏；当你的思维不严谨的时候，通过数学的刺激能够变得严谨；当你的思维不敏锐的时候，通过数学的刺激能够变得敏锐。为什么呢？你看数学的特点，首先，它非常严谨。我举一个例子，说甲乙两个人爬楼梯，甲到了4层，乙到了3层，那么问甲到了第16层，乙到了哪一层？这道题的背景很简单，就是两个人爬楼梯，但第一步，就把很多学生绕进去了。大家注意，甲到了第4层，其实就是甲上了3个台阶，但很多人在这儿就栽了，光去想〃4〃了。甲到了第16层，就等于上了15个台阶。你看这个推理过程多严谨，这个问题要是你想不到，就栽进去了。这种险象环生的场面经常出现的时候，就让你变得严谨、避免犯错了。咱们逃过这一关，接下来怎么做呢？15÷35，甲用了5倍于上到第4层的时间。同理，乙到了第3层，就等于乙上了2个台阶，于是2×510，你一测算，就等于乙上了10个台阶。这时第二个挑战又出来了，很多学生就回答乙上了10个台阶，又栽进去了。你想想，人家问的是乙到多少层，乙上了10个台阶，其实是到了第11层，所以最后的答案就是，乙到了11层。学生从这个过程中受到一种感悟，今后思维就会有意识的越来越严谨。
数学是一个挑战智慧的学科
第二个特点是智慧。就是你干什么事情，都得用心去想。比如说有这么一道数学题：有81个球，其中1个球比较轻，其余80个球重量相同，所有的球大小都是一样的。现在我给你一个没有刻度、没有砝码的天平，你最多用多少次，能把这个比较轻的小球找出来？最多用多少次，这好办，一个一个地称不就行了吗？这是对的，但不叫数学。有智慧的人怎么办呢？你看，我把那81个小球，平均分成3堆，一堆27个，然后这堆放在这个盘上，那堆放在那个盘上，一称，这两堆只要是重量相同，好了，小球就藏在没称的那一堆里；如果这两堆重量不一样，好了，哪一堆轻，小球就藏在哪一堆，这就把藏着较轻的小球的那27个球找出来。然后再平均分成3份，一堆9个，再称一次搞定了，又找出了藏着较轻小球的那一堆。照此办理，最多用4次，就能把这个较轻的小球给找出来。这就是数学培养出来的智慧。
再看一道题，甲乙两个人往一个圆盘上摆硬币，硬币的面积是一样的，然后甲往上放1枚，乙再往上放1枚，依此类推。那么大家想一想，硬币放得越多，圆盘的面积就越少，总有那么一个时刻，其中一个人拿着硬币往上放的时候，就没地放了。问题是甲乙两个人，就这样放，轮到谁的时候放不下了？乱放肯定不行，最后的答案是什么呢？乙最先没法放。怎么放呢？甲拿着这枚硬币，放在那个圆盘圆心的位置上，然后乙随便放，乙放1枚硬币，那么关于圆心总能找到1个对称点，甲就总放在对称的那个地方，那么大家想想，无论乙怎么放，只要乙能够放得下，甲肯定能找着那个对称点，一定能放上。最终呢，肯定是乙没地方放了。这就是数学智慧的体现，你们感觉数学好玩吧！
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第26节：数学语言最准确
现在咱们再看一个题，这是一张纸（如下图所示），我把它对折一次，然后沿着中轴线，再把它对折一次，经过这两次处理，然后我用剪刀沿这个折好的正方形中线横竖各剪一次，问剪成了几块？多么好的数学题，不需要什么数学背景，就是锻炼你的思维。一块块数当然可以，但还可以找找规律和方法。
这个方法是什么呢？大家看上图，剪刀的剪痕就相当于图二中的粗线，你把纸重新摊开的时候，你看这线条清清楚楚地画在原来的那张纸上，原来的那张纸被这个粗线方框分成九部分了，是不是？所以答案应该是九部分。它就有这样一种联想，你得从折叠后的状态，联想到剪刀进去之后，在原来那张纸上，留下一种什么样的痕迹，所以一观察，答案一目了然，这是数学的智慧。
数学语言最准确
数学还有一个很大的特点，就是准确。我不知道大家是否听说过，人世间最准确的语言其实就是数学语言。好比说我今年的收入是5万块钱，明年的收入要增长1倍，就相当于收入是10万；说我增长2倍，那就相当于，第二年是5万加上增长的2倍，是15万。增长2倍和增长到原来的2倍，这是两个概念，所以数学要求表达非常准确。
不仅表现在语言的准确上，它在具体问题上的准确性也是令人惊叹的。我上大学的时候，物理课本上有这么一个题目，当时把我折磨得不得了。说一个山坡，它的倾斜度是15°，在这个山坡下面有一门大炮，炮的仰角是30°。这门炮以一个初速度发射了一发炮弹，问能落在那个斜坡的什么地方？当时用物理的方法解起来，就感觉挺费劲，后来我想，我是数学系的学生，是不是应该用数学的方法来解呢？结果很容易就解出来了。什么办法呢？首先我建立一个直角坐标系，把那个斜坡看成是一条直线，把它的方程写出来，那发炮弹离开炮筒的一刻，它做斜上抛运动，是一条抛物线。于是问题就变成，抛物线和直线求交点，结果就变成一个非常简单的问题，所以解起来就比较轻松了。
考大学之前，我还做过一个物理的题目，说在1万米的高空有一架飞机正在飞行，要对着地面�
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