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学习像呼吸一样自然-第6部分
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最后我要强调的是，我们应该给孩子们灌输所有这些牛、水果、动物、汽车的概念，这样他们就能彻底明白如何将不同的东西相加了。我的确认为，如果我们知道自己在把这些不同的分数相加的时候到底在干什么，而不是像许许多多的数学老师那样并不清楚在做什么，并且不说那些让人莫名其妙的废话，那么我们就有大把机会知道该怎么做、怎么说，该使用什么样的教材，该布置什么样的作业让孩子们完成，这样，我们就能够使孩子们懂得分数的概念。
第二章 在家里学数学“无限”是什么
一个母亲曾给我写过一封很好的信，信中描述了她6岁的儿子关于数字的思考和问题。他的一个问题是：“紧挨着无限的是什么数？”我想了想这个有趣的问题，回答说，“无限”之前没有数字。孩子们觉得“无限”本身好像是一个数字，但事实不是这样。“无限的”这个词的意思是“无尽头的”或“无穷的”。你无法抵达一个尽头或边缘，因为根本就没有这样一个东西存在。不管你走多远，总可以继续走下去。对一个6岁的孩子，甚至是成年人来说，这或许并不是一个容易的概念。
家长或是数学家们会说，整数的集合中（比如1、2、3、4、5等）没有最大数。不管你想出来多大的一个数字，你总能再加上某个数字，或乘以某个数字。数学家并不管这样的整数集合叫做“无限的”而是“超限数” 。
在卡斯特纳和纽曼合著的一本很出色的叫做《数学与想像》的书中，有一章论及“超限数”，写得很好，可惜这本书已经绝版了。我们了解到，一个超限类，比如偶数集合，是与另一个集合，即全体整数的集合一样大的。这听上去有些丧失理智，因为整数中还有一半是奇数。我们说当一个集合的数字和另一个集合的数字一样多时，就意味着第一个集合里的每一个数都能在第二个集合里找到一个而且是惟一的一个数和它对应。每一只右脚的鞋都可以找到一只也是惟一的一只左脚的鞋和它相配，那就是说有多少只右脚的鞋，就有多少只左脚的鞋，即使我们并不知道具体的数目是多少。整数集合里的每个数字1、2、3……我们都可以用这个数乘以2，得到惟一的一个和它对应的偶数。1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10，等等，可以一直做下去。所以我们可以说这两个集合数目相等。
这里有一个绝妙的证明，数学家称之为“优雅”（elegant）（的确如此），就是说分数集合中的分数数目和整数集合的数目相等。这真是令人难以相信，因为在任意两个整数之间你可以放置无穷多的分数。另一个优雅的证明是，小数集合中的数目大于整数集合。
数学家们对此做了大量的研究工作。格奥尔格•；康托发现某些超限数比其他的数字大。的确，我认为他找到了四五个不同的超限数，每一个都大于前面的一个。整数集合最小，小数集合次小，最大的是整个的函数集合。
这些对一个6岁的小孩（或任何人）来说是很难掌握的。如果孩子问到无限时，你可以向他稍作解释并试试他的反应。如果他把头转开去看别的东西，那就是够了。无论如何，谈到这个概念时我们要说“无限的”，而不是“无限”。数学中的无限没有特定的数字，有的只是形容词“无限的”，意思是我前面讲过的，没有尽头或边际。
第二章 在家里学数学秘密的数学游戏
我的头四年学生生活是在一个很传统的学校度过的。它用纯粹背诵的办法教数学，把我们当成鹦鹉，或是会说话的实验室动物。我不记得有哪个老师曾经和我们探讨过数学的概念，或教我们玩数学游戏。他们的工作内容就是教给我们“算式”，向我们演示怎么解题目，然后布置作业、判作业，并让我们做练习、考试。
但正像我们小孩有自己秘密的游戏世界一样，我们也有秘密的数学世界。学校里流行着很多的数学戏法和游戏，这当然是不被老师所鼓励的，甚至都不能让他们发觉。我们经常在班上或是在自修室里面躲在课本后面玩这些游戏。
其中一个游戏叫做“猜数”。学生甲找到学生乙，最好还有学生丙、丁、戊在旁边，下面的谈话开始了：
甲：你现在想好一个数字，别告诉我，但你自己把它记好。
乙：好，我想好了。
甲：千万别忘了！
乙：别担心，我不会的！
甲：现在把它加上3——不过别告诉我答案。
乙：好了。
甲：现在加上10。
乙：好了。
甲：现在拿走7。（我们不说“减去”，虽然老师是这么教的。）
乙：好。
甲：现在加上5。
乙：好。
甲：现在拿走你一开始想到的数字。
乙：好。
甲：（胜利地宣布）答案是11！
这时丙、丁和戊可能会来挑战甲，让他再来一遍这个戏法。甲重复做了几次都没有出现任何纰漏，于是他们开始相信他真的是行家里手。于是他们会走开，摇着头百思不得其解。或者他们会央求着让甲教他们变这个戏法。
我还没见过哪个孩子真会教给其他孩子这个戏法的诀窍。不过每年每批孩子都能自己想明白。当新的一批学生进入学校后，该轮到他们被捉弄了。
就我记忆所及，“魔术师”当中没有谁把这些步骤写下来。给出数字的过程都是在脑子里进行的，一次一步。步骤越多，最后我们报出来正确得数的时候，别的孩子会越迷惑不解。
偶尔地，或许就是“魔术师”自己，虽然把过程烂熟于心，还是会在加加减减的时候出错，导致最后得数不对。于是紧接着就会爆发一场激烈的闹哄哄的争论，一般会随着“魔术师”要求重新来一遍而平息。如果答案连着错了两三次，“魔术师”会坚持说这是因为对方算得不对，然后换人来做。因为通常对方是比“魔术师”小的孩子，大家也就很容易地接受这种说法。
我猜想对于那些刚刚开始学习加法的孩子来说，这个戏法真是太好玩了。
还有一个我和伙伴们在学校常玩的数学游戏，它和数学老师没关系，他们甚至都没有听说过。这个游戏是要写下来的。这需要花些时间，还要小心，不要当场出丑。
在一张纸上画上方格。我们当时没有坐标纸，所以得自己拿尺子打格子。一般10×10见方的格子足够大了，不过有时候一些更复杂的造型需要再大一些的纸。
然后在格子纸上我们开始画图形，从一个格子和另一个格子的交汇点开始，用直线连接到另一个交汇点，持续下去直到图形完成。可能是一只狗，或是帆船，或是飞机，或者就是一个简单的形状。以“狗”为例，我们在格子纸的左边开始，从狗鼻子画起。然后说：“向右上方两格。”我们便得到第二个点。然后说：“向右下方两格。”第三个点出现了。然后：“向右四格。”这样继续直到“狗”的形象完成，如图所示：
现在，好玩的部分开始了。我们再画一张10×10的格子纸，但这次的格子画得要么大点，要么小点。在这张纸上我们完全按照上次的步骤，从起始点开始，向右上方两格……直到图形完成。然后我们比较这两张图，我们总是非常惊奇地发现新图形和旧的看上去完全一样，只是大小不同。这简直是个奇迹。我们画了又画，每一次都会为那个形状一模一样只是尺寸相异的图形感到惊讶和兴奋。
由于我们“理应”做正常的算术作业，而且要小心地把格子纸收藏好以防老师发现，我们无法用很大尺寸的纸来画。如果老师知道并且会鼓励我们做这个游戏，我们本来可以把极小的图形放大到其大无比，甚至用那种几乎能把整面墙盖住的纸来画，那该多让人兴奋啊！
我不记得是否有人曾经想过在格子纸的底边和左边标上数字，或是想到可以用这些数字来定位纸上的每一个点，像这样：
你可以画出一个图形，然后不用告诉另一个人别的什么，只需给他一些数字，他就能画出和你画的一模一样的图形。这主意太棒了，简直就是另一个奇迹。
通过这个游戏，你可以很容易地向孩子们引入比例尺绘图的概念。比例尺绘图就是用纸上的一段距离代表实际的距离：比如1英寸代表1英尺，或1英寸代表100英里。从这里我们可以进入建筑制图的领域——我经常想许多孩子一旦懂得了制图是怎么回事，他们会兴致勃勃地给自己的房间或是住宅绘制图纸。我们的游戏也有助于孩子掌握解析几何、坐标方程的基本概念，以及其他学生们要等到高中才会接触到的有意思的概念。但到那时恐怕为时已晚，因为除了少数学生，大多数人已经变得厌恶或害怕数学了。
第二章 在家里学数学家庭经济学
5岁的克里斯喜欢我们办公室里的古老加法器。那是个货真价实的旧式电动机械计算器，内部带齿轮传动装置，用起来会发出好玩的噪音，把数字打印在纸上的时候还会有小小的铁屑从机器里弹出来，对孩子来说它比电子计算器可要有趣得多了，后者用起来悄无声息，像是被无形的魔力操纵。他喜欢在这个老机器上敲出一些数字，按相加键得出总和，把打印出来的带总和的小纸带撕下来，他管这个叫“支票”，给我们中的一个人看，而且要求我们给他兑现出现金，或者告诉我们说他要拿这个去银行兑现金。我对他说：“克里斯，要是银行真的给了你钱，你可得赶快告诉我，我也马上去。” 一天他又打了一堆这样的纸条，这次管它们叫“账单”，拿给我们看，要求我们凭这个付给他工资。
像以往一样，我们通过这件事再一次看到孩子们是怎么把想像和现实很可爱地混同起来的。我比较肯定地认为，在通常情况下，克里斯知道这些纸片不是真的支票或账单，但他在一边观察我们工作的情形久了，发现这些纸片和办公室处理的真正的支票和账单之间有某种关联，它们总是和钱有关。
我任教的第一个学校有个名为“学生银行”的机构，归学校的商业部门经理管理。那个学生银行管理着学生的零用钱，设立的目的大概是防止学生把过多的现金放在宿舍里（这是所寄宿学校），从而会引起的盗窃现象。
在学年开始的时候，学生的父母们会在“学生银行”里自己孩子的账户下存进一笔钱（事实上，具体的数目会记到父母的账上）。当学生们需要现金在学校买书本、文具时，他们会写一张假“支票”给商业部门的经理，他则发给他们现金、文具、体育用品或是诸如此类的物品。经理会为每个学生分别开立账户，就像真正的银行那样，而且会负责检查学生的账户收支是否平衡。这样做的目的是让学生们有机会去学着管理自己的钱，同时学习银行的运作方式。
有一年，我也做过这个商业部门的经理，负责过这个学生银行。这差点把我弄疯了。我们在的地方离镇上“真正的银行”只有几百米远。为什么不让学生们在真正的银行开立账户、写真正的支票、收到真正的对账单呢？为什么要浪费我（和别人）的大把时间来操持这么个假银行呢？
当然了，有些家庭几乎不给孩子什么钱，或者附近没有能给孩子开账户的银行，那就没话可说。但我强烈地认为，那些有足够的钱、当地银行也愿意给他们一个账户的学生实在应该开立这样一个账户。这是真正的、大人的、有趣的世界的一部分。
但是，没有太多家庭愿意让孩子们进入他们自己的金融世界。我小时候，我爸爸认真说过的一句话是：“世上最重要的事就是学会自己养活自己。” 除了这个，他从来不在我和我的姐妹们面前提过“钱”这个字。我当时不知道，到今天也还是不知道父亲的工资是多少、除了工资他还有没有其他收入、我们付多少税、房租是多少、我的学费是多少、我们的医药费账单和保险是多少等等所有的一切。我不记得自己是否当时对这些事情特别好奇，但即使想知道，我也从来不敢问。
我现在强烈地认为孩子们应当知道，也应该有办法知道他们的家庭财务状况——有多少钱、怎么挣的、怎么花费或储蓄的。孩子们对这些事情感兴趣。钱是他们每天生活其中的成人世界里最神秘和最有魅力的部分之一，他们想要弄明白它究竟是怎么一回事。它当然重要，大人们不是整天都在谈论它嘛。
另外，家庭财务，也就是家庭经济学，是城镇、州、国家和世界经济学的微小而简单的样板。你对自己家的经济学懂得越多，就会对更大范围的经济学明白得越多。
再有，家庭经济学也是把数字和算术运用于真实情况的一个方式。不必眼下只是抽象地在真空里学习数字，等到日后用它们来思考真实的问题，事实上，孩子们现在就可以开始边学习边思考并谈论跟数字有关的真实生活。家庭经济学将引入诸如利息、百分比、贷款、抵押、分期付款、保险等的概念。这些东西如果单纯从学校的课堂上学到需要好几年的时间。在谈到钱的时候，我们可以使用各种图表——柱状图或圆形图等来表示收入与开销的划分，或是数量与时间的关系；也可以来表示在全年不同阶段的不同支出（如冬天的取暖费比较高），或是进行年度的比较。
低收入家庭往往觉得很难向孩子解释清楚为什么没有或者买不起这样那样的东西。一个父亲曾写信给我说，他在向孩子解释为什么不能马上买一辆十速自行车的时候，那种感觉真是太可怕了。我建议他向孩子介绍家庭的收入情况、必须的开支、储蓄的数目，让孩子自己发现买自行车的钱不在预算里。他回答说他会这么做。他从来没有告诉过我问题究竟是否解决了，但我想孩子总能从中学到该学的东西。
和其他事情一样，一些孩子会比另一些孩子对钱的事情更感兴趣。如果他们不感兴趣，随他们去，只要让他们知道如果想了解的话可以从哪里找到答案就行。但有些孩子，哪怕是一时，会想要负责保管家庭记账本和所有的收支记录。再次重申，我没有说要把这项工作变成必须做的功课。很多幼小的孩子会对这类事情感兴趣一阵子，但很快就转到别的事情上去了。随他们去。还有的孩子会长时间地对这项工作兴致盎然，甚至热切渴望。在这种时候，就让他们负起更大的责任。让他们写支票、付账单，做账本，等等。
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