友情提示:如果本网页打开太慢或显示不完整,请尝试鼠标右键“刷新”本网页!
亚里士多德的三段论-第20部分
快捷操作: 按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页 按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页 按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部! 如果本书没有阅读完,想下次继续接着阅读,可使用上方 "收藏到我的浏览器" 功能 和 "加入书签" 功能!
…… 209
40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A 791
18。
CpqCLpLq依据前提CCQpqrCNqCpqr,CCpqCqrCpr,CCNpCqCCrpCqCrp和模态断定命题CpMp的易位CNM9Np,同样可以从公式2推演出公式19。
从上面所述,我们看到,给予了命题演算和基本模态逻辑,公式18与严格的扩展定律21是演绎地等值的,而公式19与严格的扩展定律2是演绎地等值的。
因此,我们将这些公式称为“广义的扩展定律”是正确的。
自然,不管我们是通过补充CCpqCLpLq或者是通过补充CQpqCLpLq去完成基本模态逻辑的L系统,它们在逻辑上都是毫无区别的;另外将CpqCMpMq或者CCpqCMpMq任选其一补充到M系统中去也是同样有效的。
但是就直观上说,其区别却很大。
公式18和19不象公式21和2那样明显。
如果p蕴涵q,但是并不与它等值,那末,如果δ属于p,则也属于q,这却不是永真的;例如:CNpNq就不能从Cpq推演出来。
但是,如果p与q等值,那末总是,如果δ属于p,则δ属于q,即如果p真,则q也真,而如果p假,则q也假;同样,如果p是必然的,则q也是必然的,而如果p是可能的则q也是可能的。
这看来应该是十分明显的,除非模态函项看作内涵函项,即作为函项,它的真值不单纯依赖于它的主目的真值。
但是在这种情况下,必然性和可能性应该表示什么,这对我来说至今还是个秘密。
40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A在上面的最后一段引文中,亚里士多德说他已证明了关于可能性的扩展定律。
他实际上是这样论证的:如果α是可能
…… 210
891第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
的,而β是不可能的,那末当α出现时β却不出现,所以α可以在没有β的情况下出现,但这是与如果α存在则β也存在的前提相矛盾。
①很难将这个论证改造成一个逻辑公式,因为词项“出现”与其说具有逻辑意义,不如说更具有本体论的意义。
但是亚历山大给这个论证所作的注释却值得仔细研究。
亚里士多德将“偶然的”
定义为某种不是必然的东西,而对这种东西设想的存在也不包含任何不可能。
②亚历山大将亚里士多德关于偶然性的定义与省去了“不是必然的”一语的“可能性”
的定义等同起来。
他说:“一个作为不可能的β不能从一个作为可能的α推演出来,这一点也可以从可能性的定义加以证明,这个定义是:可能的东西是这样的,对它设想的存在不包含任何不可能。”
③这里“不可能”
和“不”
(nothCing)两词要求慎重的解释。
我们不能将“不可能”解释为“不是可能的”
,因为这样定义就会产生循环。
我们应当或者采用“不可能”作为基本词项,或者采用“必然”作为基本词项,用“非p是必然的”去定义表达式“p是不可能的”。
我宁愿采取第二个方式,并且将在L基本模态逻辑的基础上来讨论这个新的定义。
“不”
一词应该用全称量词来表示,因为要不然定义就不是正确的。
因此,我们就得出等值式:
①《前分析篇》,i。
15,34a8,“如果它是可能的,在它的存在成为可能的时候,就可以出现;而如果它是不可能的,在它的存在成为不可能的时候,就不会出现;而如果在同一时间α是可能的而β是不可能的,那末,α就可能在没有β的情况下出现,而如果它出现了,那末就存在着……。”
②参阅下面第190页。
③亚历山大,17,1。
…… 211
40。亚里士多德对扩展的M-定律的证明A 991
28。
QMpqCpqNLNq。
‘这用语言来表达就是:“p是可能的——当且仅当——对于所有的q,如果(如果p,则q)
,那末,非q不是必然的“。
这个等值式必须增加到L基本模态逻辑中去,以代替等值式1作为Mp的定义,等值式1现在应当作为定理而被证明。
等值式28由两个蕴涵式组成:29。
CMpqCpqNLNq和30。
CqCpqNLNqMp。
‘我们依靠定理CqCpqNLNqCpqNLNq和假言三段论,从‘29式得出这样的结果:31。
CMpCpqNLNq;而通过替代qp,Cp,交换法和分离法,从31式就能容易地'推出蕴涵式CMpNLNp。
逆换的蕴涵式CNLNpMp与原来的蕴涵式结合起来得出等值式1。
这个逆换的蕴涵式除了依靠L的扩展定律:CpqCLpLq以外,不能用其它方法得到证明。
由于这个证明略复杂,我将作出一个完整的证明。
前提:18。
CpqCLpLq24。
CpqCqrCpr30。
CqCpqNLNqMp‘32。
CpqCNqNp3。
CpCqrCqCpr。
推演:
18。
pNq,qNp×34'34。
CNqNpCLNqLNp24。
pCpq,qCNqNp,rCLNqLNp×C32—'
…… 212
02第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
C34—3535。
CpqCLNqLNp
32。
pLNq,qLNp×36'36。
CLNqLNpCNLNpNLNq
24。
pCpq,qCLNqLNp,' '
rCNLNpNLNq×C35—C36—37'37。
CpqCNLNpNLNq
3。
pCpq,qNLNp,rNLNq×C37—38'38。
CNLNpCpqNLNq
38。2q×39‘39。
CNLNpqCpqNLNq‘
24。
pNLNp,qqCpqNLNq,' ‘
rMp×C39—C30—40'40。
CNLNpMp。
现在我们可以来证明M的扩展定律,这正是亚历山大所论证的目的。
这个定律可以轻易地从等值式1和断定命题37推出来。
除此以外,我们还看到,依靠具有量词的定义所作的证明并不一定复杂。
只要保留定义1并且将L扩展定律补充到L系统中去,就足以得出M扩展定律。
如果我们将M扩展定律补充到M系统中去并且保留定义2,我们同样可以得出L扩展定律。
带有扩展定律的L系统与M系统是演绎地等值的,正如不带有扩展定律它们是演绎地等值的一样。
当然,很难相信古代的逻辑学家能够作出象上面所作的那样精确的证明。
但是证明是正确的这个事实本身却有趣地阐明了亚里士多德关于可能性的观念。
我认为亚里士多德已
…… 213
41。命题之间的必然联系A 102
经直觉地看到了这一点,简短地表达出来就是:今天可能的东西(例如说,一场海战)可以在明天存在或成为现实;但是,不可能的东西任何时候都不能成为现实。
这个观点看来是亚里士多德和亚历山大的证明的基础。
41。命题之间的必然联系A亚里士多德只有一次表述了L扩展定律,那是在他涉及三段论的章节中,与M定律一起谈到的。
按照亚里士多德的意见,在一个有效的三段论的前提α和它的结论β之间存在着一种必然的联系。
因此,看来上面表述的具有以下形式的扩展定律16。
CαCβLαLβ和17。
CαβCMαMβ应该表达为带有必然的前件:41。
CLCαβCLαLβ和42。
CLCαβCMαMβ而相应的一般扩展定律应当读作:43。
CLCpqCLpLq和4。
CLCpqCMpMq。
这由上面关于M定律的第一段引文得到证实,在那一段引文中,我们读到:“如果(如果α存在则β必须存在)
,那末,(如果α是可能的,则β也必须是可能的。)“
公式43和4比带有实然前件的相应的公式13和19为弱,并且可以借助于公理CLpp和假言三段论24式从公式18和19得出。
但是反过来从较弱的公式推出较强的公式却是不可能的。
问题在于,我们是不是应当排斥较强的公式18和19,而代之以较弱的公式43和4。
要解决这个问题,我们必须探讨亚里士多德的必然性的概念。
…… 214
202第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
亚里士多德承认有些必然命题是真的而应予断定。
在《分析篇》中可以找到两类断定了的必然命题:一类是命题之间的必然联系,另一类是词项之间的必然联系。
任何有效的三段论都可以作为第一类的例证,就以Barbara式为例:(g)如果每一个b是a并且每一个c是b,那末,必然地每一个c必定是a。
这里“必然”一词不是意味着结论是必然命题,而是标志着三段论的前提和它的实然结论之间的必然联系。
这就是所谓“三段论的必然性”。
当亚里士多德在讨论一个具有实然结论的三段论时,说这个结论并不是“简单地”
(πω~s)必Q然的,即本身是必然的,而是有“条件地”必然的,即关系到他的前提(“
D ωD ω)
①的时候,他非常清楚地看到在H J F H F J F H F三段论的必然性和一个必然结论之间存在着区别。
有这样的章节,在那里亚里士多德将必然性的两个标记都用于结论中去,例如说:从前提“每一个b是a,并且有些c是b”得出结论:“这是必然的,有些c必然是a”。
②这里第一个“必然”
是指三段论的联系,第二个“必然”是指结论乃是一个必然命题。
顺便指出亚里士多德的一个严重错误,他说,从单个前提不能必然地推出任何结论,而只有象在三段论中那样,至
①《前分析篇》,i。
10,30b32“……结论在这里不是无条件地表达必然性,而是只有在具备所述条件时才表达必然性。”
②同上,9,30a37。
…… 215
41。命题之间的必然联系A 302
少从两个前提才能必然地推出结论。
①在《后分析篇》中,他断言这一点已经得到证明,②但是,连一点证明的尝试在任何地方都没有提供。
相反,亚里士多德自己却说:“如果有些b是a,那末必然有些a是b”
,这样,就只从一个前提引出一个必然的结论。
③
我已说过:三段论的必然性可以化归为全称量词。
④当我们说,在一个有效的三段论中,结论是由前提必然地推出来的时候,我们需要指出的是三段论对于任何内容都是有效的,也就是说,它对于其中出现的变项的任何值都是有效的。
正如我们在后来所发现的那样,这种解释是为亚历山大所确定的,他断定:“三段论的结合是这样的,从这种结合中有某种东西必然地推论出来;并且它是这样的,在这种结合中,对于任何内容都将同样地推出结果。”
⑤化归为全称量词的三段论的必然性,可以依据三段论的定律而消去,这从下述考察中将看到。
三段论(g)
,正确地译成符号“语言”将具有这样的形
①《前分析篇》,i。
15,34a17,“………从某个事物的存在并不能必然地推出任何东西,而至少要从两个事物的存在,例如,当两个前提按照所述三段论的那种方式联结起来的时候,才能必然地推出什么来。”
②《后分析篇》i。
3,73a7,“已经证明,举出一个事物——不论是一个词项或一个前提——决不包含一个必然的结论。
两个前提对于推出一个结论,从而更加是,对于论证的三段论科学是最初的和最少的基础。“
③《前分析篇》,i。
2,25a20。
④参阅第5节。
⑤亚历山大,208,16。
…… 216
402第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
式:(h)LCKAbaAcbAca,它的语言表达式就是:(i)
这是必然的,(如果每一个b是a,并且每一个c是b,那末,每一个c必定是a)。
在三段论之前的必然性记号表明,不是结论,而是前提和结论之间的联系是必然的。
亚里士多德会断定(h)。
而公式(j)CKAbaAcbLAca,在字面上相当于语言表达式(g)
,但这个公式却是错误的。
亚里士多德排斥了这个公式,正如他排斥带有更强的前提的公式一样,即(k)CKAbaLAcbLAca,也就是:“如果每一个b是a,并且必然地每一个c是b,那末,必然地每一个c是a”。
①
通过将必然性化归为全称量词,公式(h)可以改变为表达式:(1)abcCKAbaAcbAca,‘即:“对于任何a,对于任何b,对于任何c,(如果每一个b是a,并且每一个c是b,那末,每一个c是a)”。
这最后的表达式等值于没有量词的Barbara式:(m)CKAbaAcbAca,因为一个全称量词当放置在断定了的公式之前时,是可以省
①《前分析篇》,i。
9,30a23“如果前提AB不表示必然性,而BC表示必然性,那末,就不会得出关于必然属于的结论。”
…… 217
41。命题之间的必然联系A 502
略的。
公式(h)和(m)并不等值。
显然,(m)可以根据CLp的原则而从(b)推演出来,而相反的推演过程却不能不将必然性化归为全称量词。
但是,如果将上述公式应用于具体词项的话,这种推演终究是不可能作到的。
例如,在公式(h)中,我们用“鸟”代替b,用“乌鸦”代替a,用“动物”代替c,我们得出必然命题:(n)这是必然的:(如果每一只鸟是乌鸦,并且每一个动物是鸟,那末,每一个动物是乌鸦)。
从(n)又得出三段论(o)
:(o)如果每一只鸟是乌鸦,并且每一个动物是鸟,那末,每一个动物是乌鸦。
但我们却不能通过将必然性变为量词而从(o)得出(n)
,因为(n)不包含可以被量化的变项。
这里我们就遇到了第一个困难。
当函子L加在包含自由变项的断定了的命题之前,必然性的意义是容易了解的。
在这种情况下,我们有一个一般定律,并且,我们可以说:我们将这个定律看作必然的,因为它对于一定种类的任何客体都是真的,而且不允许有例外。
但是当我们有一个缺少自由变项的必然命题,特别是当命题是一个由假的前件和假的后件所组成的蕴涵式,如我们所举的(n)的例子那样,我们应当怎样去解释必然性呢?
我认为只有一个合理的回答:我们可以说,如果谁接受了这个三段论的前提,那末,他就必然地要被迫接受它的结论。
但是,这是一种心理学上的必然性,它与逻辑学是迥然不同的。
除此以外,谁会将显然假的命题断定为
…… 218
602第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
真,这是很值得怀疑的。
我不知是否有比去掉在断定了的蕴涵式之前的L函子更好的补救方式去排除这个困难。
这种方法已经为亚里士多德所采用,他有时就省略了有效的三段论式中的必然性符号。
42。
“实质”蕴涵还是“严格”蕴涵?
A按照麦加拉的菲罗的意见,蕴涵式“如果p,那末q”
,即Cpq,是真的,当且仅当它不是从真的前件开始和以假的后件结尾。
这也就是现今在古典命题演算中普遍接受的所谓“实质”蕴涵。
“严格”蕴涵:“这是必然的:如果p,那末q,”即LCpq,乃是一个必然的实质蕴涵式,它是由C。
I。
刘易士引入符号逻辑中的。
借助于这些术语,我们所讨论的问题,可以这样来陈述:我们应将亚里士多德的扩展定律的前件解释为实质蕴涵呢?
还是解释为严格蕴涵?
换句话说就是:我们应当接受较强的公式18和19(我称这为强的解释)
,或者我们应当排斥它们,而采用较弱的公式43和44(弱的解释)?
亚里士多德自然没有意识到这两种解释之间的区别和它们对模态逻辑的重要性。
他不可能了解由菲罗所提出的实质蕴涵的定义。
但是亚里士多德的注释者亚历山大却非常了解斯多亚—麦加拉学派的逻辑学,并且熟悉在这个学派的后继者中对蕴涵的意义所进行的热烈的争论。
我们现在来看亚历山大对我们这个问题所作的注释。
亚历山大在注释亚里士多德“如果(如果α存在,则β必须存在)
,那末,(如果α是可能的,则β必须是可能的)“这一段时,强调了”如果α存在,则β必须存在“这个前提的必
…… 219
42。
“实质”蕴涵还是“严格”蕴涵?
A 702
然的性质。
因此看来,他定会采用较弱的解释CLCαβCMαMβ和较弱的M扩展定律CLCpqCMpMq。
但是,他所指的必然蕴涵的意思和刘易士所认为的严格蕴涵之间是有区别的。
他说,在一个必然蕴涵中,后件应当总是(即在任何时候)从前件推出来,因此命题“如果亚历山大存在,他就有若干岁”
,就不是一个真的蕴涵式,甚至当陈述这个命题时,亚历山大事实上是这么多岁数,这个蕴涵式也不是真的①。
我们可以说,这个命题表达得不够严格,并且为了使它永真,需要补充一些时间性的限定。
一个真的实质蕴涵,当然应当是永真的,而如果它包含了变项,则对变项的所有的值都须是真的。
亚历山大的注释与强的解释不是不相容的;它无助于解决我们的问题。
如果我们将第40节所阐述的亚历山大对M扩展定律所作的证明中的实质蕴涵Cpq,代之以严格蕴涵LCpq,问题就得到了某些解决。
这样来改变公式31。
CMpCpqNLNq,我们就得出:45。
CMpCLCpqNLNq。
从公式31我们可以容易地推出CMpNLNp,方式是依靠替代qp,得出CMpCpNLNp,从这个公式依靠交换法和分离法'①亚历山大,176,2。
“必然的推论是这样的:它不具有时间的性质,而在它的表达式中,‘这个前提推出’与表达式‘这个前提有后件’永远表示同样的意思。
例如,如果我们说:‘如果亚历山大存在,那末就说亚历山大’,或者‘如果亚历山大存在,那末他就有若干岁’,就不是真的蕴涵式,即令在我们陈述这个命题的时刻,他是有若干岁“。
…… 220
802第六章 亚里士多德的模态命题逻辑
就得出我们的命题,因为Cpp乃是一个断定了的蕴涵式。
但是这同一的方法却不能运用于公式45。
我们得出CMpCCLCpNLNp;而如
快捷操作: 按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页 按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页 按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
温馨提示: 温看小说的同时发表评论,说出自己的看法和其它小伙伴们分享也不错哦!发表书评还可以获得积分和经验奖励,认真写原创书评 被采纳为精评可以获得大量金币、积分和经验奖励哦!