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电子电路大全(PDF格式)-第28部分
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3、奇谐波函数
3
33
f f t＋T/2
f f t＋T/2
（t）=（ ）
（t）=（ ）
ff ff tt＋＋TT//22
（（tt））==…（（ ））
镜对称的性质
f（t）
f（t）
ff（（tt））
t
t
tt
T T
T
O TT
O
OO
2
…………………………………………………………Page 335……………………………………………………………
3、奇谐波函数
3
33
镜对称的性质
f f t＋T/2
f f t＋T/2
（t）= （ ）
（t）= （ ）
ff ff tt＋＋TT//22
（（tt））== （（ ））
可以证明：
a =b
a =b =0
aa ==bb =0
2k 2k ==00
2k 2k
22kk 22kk
展开式中只含有奇次谐波分量
f（t）=
f（t）=
ff（（tt））==＇a cos（ωt） ＋b sin（ωt）＇
1 1 1 1
＋＇a cos（3ωt） ＋b sin（3ωt）＇
3 1 3 1
＋···
…………………………………………………………Page 336……………………………………………………………
判断下面波形的展开式特点
f（t）
f（t）
ff（（tt））
t
O t
O tt
OO
f（t）
f（t）
ff（（tt））是奇函数
展开式中只含有正弦分量
f（t）
f（t）
又是奇谐波函数
ff（（tt））
展开式中只含有奇次谐波
f（t）=
f（t）=
ff（（tt））== b sin（ωt） ＋b sin（3ωt） ＋···
1 1 3 1
…………………………………………………………Page 337……………………………………………………………
4、系数和计时起点的关系
4
44
A
A
系数AA 与计时起点无关（但ψ 是有关的），
km k
km k
kkmm kk
这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的
振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一
定的，
并不会因计时起点的变动而变动；
因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初
相作相应地改变。
a b
a b
由于系数aa 和bb 与初相ψ 有关，所以它们也
k k k
k k k
kk kk kk
随计时起点的改变而改变。
…………………………………………………………Page 338……………………………………………………………
4、系数和计时起点的关系
4
44
a b
a b
由于系数aa 和bb 与计时起点的选择有关，所以
k k
k k
kk kk
函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择
有关。
但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点
无关。
因此适当选择计时起点有时会使函数的分解
简化。
…………………………………………………………Page 339……………………………………………………………
例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下
画出整个周期的波形
1
1、只含有余弦分量
11
2
2、只含有正弦分量
22
3
3、只含有奇次谐波分量
33
f（t）
f（t）
ff（（tt））
O
O
OO t
t
tt
…………………………………………………………Page 340……………………………………………………………
1
1、只含有余弦分量
11
f（t）
f（t）
应是偶函数
ff（（tt））
关于纵轴对称 f（t）
f（t）
ff（（tt））
O
O
OO t
t
tt
…………………………………………………………Page 341……………………………………………………………
2
2、只含有正弦分量
22
f（t）
f（t）
应是奇函数
ff（（tt））
关于原点对称 f（t）
f（t）
ff（（tt））
O
O
OO t
t
tt
…………………………………………………………Page 342……………………………………………………………
3
3、只含有奇次谐波分量
33
f（t）
f（t）
应是奇谐波函数
ff（（tt））
镜象对称 f（t）
f（t）
ff（（tt））
O
O
OO t
t
tt
…………………………………………………………Page 343……………………………………………………………
有效值、平均值和平均功率
一、非正弦周期量的有效值
1、有效值的定义
1
11
1 T 2
I = ∫ i dt
T 0
…………………………………………………………Page 344……………………………………………………………
2
2、有效值与各次谐波有效值之间的关系
22
i
i
假设一非正弦周期电流 可以分解为傅里叶级数
ii
∞
i = I ＋∑I cos（kωt ＋ψ ）
0 km 1 k
k=1
则得电流的有效值为
2
∞
1 T
I = I ＋∑I cos（kωt ＋ψ ） dt
∫ 0 km 1 k
T 0 k=1
…………………………………………………………Page 345……………………………………………………………
有效值与各次谐波有效值之间的关系
I = I2 ＋ I2 ＋ I2 ＋ I2 ＋···
0 1 2 3
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平
方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可推广用于其他非正弦周期量。
…………………………………………………………Page 346……………………………………………………………
二、非正弦周期量的平均值
1、平均值的定义
1
11
1 T
I = ｜ i｜ dt
av ∫
T 0
非正弦周期电流平均值等于此电流绝对
值的平均值。
…………………………………………………………Page 347……………………………………………………………
2、正弦量的平均值
2
22
1 T
I = ｜ I cosωt ｜ dt
av ∫ m
T 0
I I I
=2I / =0。637I =0。898I
=2II /π =0。637II =0。898II
==22 // ==00。。663377 ==00。。889988
m m
m m
mm mm
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，
这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各
个值变为对应的正值。
i
i
ii
I
I
II
m
m
mm
I
I
II
av
av
aavv
O
O t
OO t
ωtt
…………………………………………………………Page 348……………………………………………………………
3
3、不同的测量结果
33
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表
进行测量时，会有不同的结果。
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将
是电流的恒定分量；
用电磁系或电动系仪表测量时，所得结果将是
电流的有效值；
用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是
电流的平均值。
由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，
要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表
的读数所示的含意。
…………………………………………………………Page 349……………………………………………………………
例：计算有效值和平均值
i
i
（A）
（A）
ii
（（AA））
10
10
1100
T/4
T/4
TT//44 T
T
O TT t
O t
OO tt
1 T 2
4 =5A
I =5A
I = ==55AA
II =
解：有效值为 == ∫ 10 dt
T 0
T
T
10* /4
10* /4
TT
1100** //44
平均值为 I
I = =2。5A
II = =2。5A
0 == ==22。。55AA
0
00
T
T
TT
…………………………………………………………Page 350……………………………………………………………
三、非正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率
1
11
任意一端口的瞬时功率（吸收）为
∞
p =ui = U ＋∑U cos（kωt ＋ψ ）
0 km 1 ku
k=1
∞
× I ＋∑I cos（kωt ＋ψ ）
0 km 1 k
k=1
u i
u i
式中 、 取关联方向。
uu ii
…………………………………………………………Page 351……………………………………………………………
2
2、平均功率
22
P =U I ＋U I cosφ ＋U I cosφ ＋···＋U I cosφ ＋···
0 0 1 1 1 2 2 2 k k k
平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐
波平均功率的代数和。
…………………………………………………………Page 352……………………………………………………………
i
i
ii
已知一端口的电压和电流，求 ＋
＋
＋＋
电压和电流的有效值和一端口 u
u
uu
的平均功率。 …
u =10 ＋20 cos（30t ＋27°） ＋30 sin（60t ＋11°） ＋40 sin（120t ＋15°）V
i = 2 ＋3 cos（30t …33°） ＋4 sin（90t ＋52°） ＋5sin（120t …15°）A
U 2 2 2 2
U
=
=
UU
解：电压的有效值 == 10 ＋20 ＋30 ＋40
×
2 20 2 20 2 40 2
U = 10 ＋（ ） ＋（ ） ＋（ ）
2 2 2
2 3 2 4 2 5 2
电流的有效值 I = 2 ＋（ ） ＋（ ） ＋（ ）
2 2 2
…………………………………………………………Page 353……………………………………………………………
u =10 ＋20 cos（30t ＋27°） ＋30 sin（60t ＋11°） ＋40 sin（120t ＋15°）V
i = 2 ＋3 cos（30t …33°） ＋4 sin（90t ＋52°） ＋5sin（120t …15°）A
平均功率
P
P
= 10×2 ＋ 20×3 ＋ 30×4 ＋40×5
= 10 2 ＋ 20 3 ＋ 30 4 ＋40 5
PP
== 1100 22 ＋＋ 2200 33 ＋＋ 3300 44 ＋＋4400 55
×
P
P
= 10×2 ＋ 20×3 ＋ 40×5
= 10 2 ＋ 20 3 ＋ 40 5
PP
== 1100 22 ＋＋ 2200 33 ＋＋ 4400 55
×
P
P
= 10 2 ＋ 20 3cos60° ＋ 40 5cos30 °
= 10 2 ＋ 20 3cos60° ＋ 40 5cos30 °
PP × × ×
== 1100 22 ＋＋ 2200 33ccooss6600°° ＋＋ 4400 55ccooss3300 °°
×
20 3 40 5
P =10 ×2 ＋（ ）（ ） cos 60°＋（ ）（ ） cos 30°
2 2 2 2
…………………………………………………………Page 354……………………………………………………………
非正弦电流电路的计算
一、非正弦电流电路的计算具体步骤
1、傅氏分解
1
11
把给定的非正弦周期电源电压或电流分
解为傅里叶级数，
高次谐波取到哪一项为止，要看所需要
准确度的高低而定。
傅里叶级数应展开成第二种形式。
…………………………………………………………Page 355……………………………………………………………
2
2、单独作用
22
分别求出电源电压或电流的恒定分量以及
各谐波分量单独作用时的响应。
对各次谐波分量，求解时可以用相量法进
行，
但要注意，感抗、容抗与频率有关。
直流分量单独作用
L
L
电感 相当于短路
LL
C
C
电容CC相
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